1.2 Понятие об уравнении в полных дифференциалах

Рассмотрим такой тип уравнений, которые не всегда допускают интегрирование в квадратурах. Этот тип, вследствие того, что к нему сводятся многие другие уравнения, имеет важное значение в теории дифференциальных уравнений. Речь идет об уравнении в полных дифференциалах. Так называется уравнение

, (1.4)

левая часть которого представляет собой полный дифференциал некоторой функции от и , т.е.

. (1.5)

Относительно функций и мы будем предполагать, что они непрерывны по обеим переменным в некоторой области.

Уравнение в полных дифференциалах можно записать так:

. (1.6)

Поэтому общий интеграл его имеет вид

. (1.7)

При этом функция является интегралом уравнения (1.4).

Особых решений уравнение в полных дифференциалах, очевидно, не имеет. Пример 1. Рассмотрим уравнение

. (1.8)

Левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал функции

. (1.9)

Поэтому общий интеграл рассматриваемого уравнения имеет вид

, или . (1.10)

Пример 2. Возьмем уравнение

. (1.11)

Раскроем скобки и сгруппируем член так, чтобы каждая группа представляла собой полный дифференциал:

. (1.12)

. (1.13)

Заменяя сумму дифференциалов на дифференциал суммы, получаем:

, . (1.14)

Следовательно, уравнение (1.11) является уравнением в полных дифференциалах, а равенство

(1.15)

есть его общий интеграл.

Ясно, что построение функции подобной группировкой слагаемых возможно лишь в том случае, если заранее известно, что левая часть уравнения представляет собою полный дифференциал. Но даже тогда когда это и известно, нам не всегда удается легко поободрать соответствующую группировку слагаемых.

Поэтому возникают два вопроса:

1) Как узнать по виду уравнения (1.4), является ли оно уравнение в полных дифференциалах?

2) В случае положительного ответа на первый вопрос, как построить функцию и, следовательно, общий интеграл уравнения (1.4)?

1.3 Признак уравнения в полных дифференциалах. Построение общего интеграла

Предположим, что функции и имеют непрерывные частные производные соответственно по и по . Пусть левая часть уравнения (1.4) представляет собою полный дифференциал, т.е.

.

Это равносильно тому, что имеют место тождества

. (1.16)

Дифференцируя первое из этих тождеств по , а второе по , получаем тождества

 (1.17)

левые части полученных тождеств равны между собой, а тогда равны и правые, т.е.

. (1.18)

Условие (1.18) является необходимым для того, чтобы левая часть уравнения (1.4) была полным дифференциалом. Покажем, что это условие является и достаточным.

Действительно, пусть условие (1.18) выполнено. Покажем, что тогда существует функция , удовлетворяющая соотношению (1.5) или, что то же, обоим равенствам (1.16).

Будем исходить из первого из равенств (1.16):

. (1.19)

Нетрудно убедиться, что ему удовлетворяет функция

, (1.20)

где - произвольная функция от , которую мы будем считать дифференцируемой и выберем её так, чтобы функция (1.20) удовлетворяла и второму равенству (1.16), т.е. чтобы

, (1.21)

. (1.22)

Используя условие (1.18), перепишем это равенство так:

. (1.23)

Выполняя интегрирование, получаем:

,

откуда

,

следовательно,

, (1.24)

где - уже произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение функции в формулу (1.20), получаем искомую функцию :

, (1.25)

что и доказывает достаточность условия (1.18). Итак, тождественное выполнение равенства (1.18) является необходимым и достаточным признаком уравнения в полных дифференциалах.

Взяв одну из функций (1.25), например, ту, у которой , и приравняв её произвольной постоянной , получим общий интеграл уравнения (1.4) в следующем виде:

. (1.26)

Если при построении функции брать за исходное второе из равенств (1.16), то мы получим для общего интеграла симметричное выражение

. (1.27)

В формулах (1.26) и (1.27) нижние пределы интегрирования и можно выбирать произвольно, но так, чтобы получающиеся интегралы имели смысл. Удачный выбор и во многих случаях облегчает задачу интегрирования уравнения.

Пример 1. Рассмотрим снова уравнение (1.11):

.

, , , , (1.28)

так что условие (1.18) выполнено. Для получения общего интеграла воспользуемся формулой (1.26), где положим , тогда получим

. (1.29)

Выполняя интегрирование, получим общий интеграл опять в виде (12).

Пример 2. Дано уравнение

. (1.30)

Условие (1.18) выполнено. Применим формулу (1.26), положив , , получим:

, . (1.31)

(Мы не можем полагать , так как второй из интегралов оказался бы расходящимся).