2.4 Случай интегрирующего множителя вида

Рассмотрим более общий случай, когда интегрирующий множитель представляет собой функцию от заданной функции переменных и : .

В этом случае уравнение (2.43) для интегрирующего множителя можно переписать так:

(2.55)

. (2.56)

Если коэффициент при представляет собою функцию только от :

, (2.57)

. (2.58)

Случаи интегрирующего множителя, зависящего только от или только от , содержаться в рассматриваемом случае при , .

Пользуясь условием (2.57), мы можем найти условие существования интегрирующего множителя наперед заданного вида.

Например, интегрирующий множитель, зависящий только от произведения существует, если

(здесь ). (2.59)

Условие существования интегрирующего множителя, имеющего вид , запишется так:

(). (2.60)

Пример 1. Решить уравнение

Очевидно, найти интегрирующий множитель, зависящий только от одной переменной нельзя. Будем искать интегрирующий множитель в виде .

Пусть, тогда уравнение для нахождения примет вид

,

Умножая обе части исходного уравнения на данный интегрирующий множитель, получаем уравнение в полных дифференциалах:

Интегрируя полученное уравнение, находим общее решение: