2.3 Случай интегрирующего множителя, зависящего только от и только от

Предположим, что уравнение (2.29) имеет интегрирующий множитель, зависящий только от , . В этом случае , так что уравнение

(2.43)

принимает вид

, (2.44)

. (2.45)

Отсюда следует, что для существования интегрирующего множителя вида необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при представлял собою функцию только от , т.е.

. (2.46)

Если это условие выполняется, то мы имеем:

, (2.47)

следовательно, функция

(2.48)

является интегрирующим множителем уравнения (2.29).

Пример 1. Найдем интегрирующий множитель линейного уравнения

. (2.49)

Перепишем это уравнение в дифференциальной форме:

.

Проверяя выполнение условия (2.46), имеем:

.

Следовательно, функция

(2.50)

есть интегрирующий множитель линейного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение

.

Очевидно, что данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Попытаемся найти интегрирующий множитель . Поскольку выражение

не зависит от , то уравнение для определения примет вид

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными одним из решением которого, является функция . Умножая обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель , получаем уравнение в полных дифференциалах:

Интегрируя его, находим общее решение:

Найдем условие, при котором интегрирующий множитель зависит только от : . в этом случае уравнение (2.43) принимает вид

, (2.51)

. (2.52)

Если коэффициент при является функцией только от , т.е.

, (2.53)

то интегрирующий множитель дается формулой

. (2.54)

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

.

А значит, интегрирующий множитель существует и равен

.

Умножим исходное уравнение на , получим

.

Это уравнение в полных дифференциалах и оно интегрируется обычным образом.