§1. Загальні властивості рівняння Ріккаті

Розглянемо рівняння:

=f(x, y),

в якому права частина є квадратична функція від (шуканої функції) у, тобто

. (1)

Таке рівняння називається рівнянням Ріккаті. Будемо вважати, що функції Р(х), Q(x), R(x) визначені і неперервні на інтервалі (а, в),(а, в є (+?,-?)), причому Р(х)?0 і R(x)?0 на цьому інтервалі (в протилежному випадку рівняння Ріккаті вироджується в лінійне рівняння або в рівняння Бернуллі).

Отже, рівняння Ріккаті (1) має єдиний розвязок

у=у(х), (2)

що задовольняє початкову умову:

y=y при х=х, (3)

де х належить інтервалу (а, в), а за у можна брати будь-яке число, тобто через кожну точку (х, у) прямої

а<x<b, -?<y<+? (4)

проходить одна і тільки одна інтегральна крива рівняння Ріккаті.

Дійсно, завжди можна побудувати прямокутник

з центром в точці (х, у) який повністю лежить на прямій (4). Рівняння (1) має єдиний розвязок (2), що задовольняє початкову умову (3). Цей розвязок визначений, взагалі кажучи лише в деякому околі точки х=х. Існування цього розвязку на всьому інтервалі неперервності коефіцієнтів Р(х), Q(x) і R(x) не гарантується.

Приклад. Розглянемо рівняння

.

Тут права частина визначена і неперервна на всій площині (х, у). Але із формулювання загального розвязку

у= 1-

бачимо, що ніякий із розвязків, які входять в цю формулу при С?, не буде визначено при всіх х.

Із сказаного вище випливає, що рівняння Ріккаті не має особливих розвязків. Будь-який його розвязок є частинним розвязком.

Перш ніж перейти до питання про інтегрування рівняння Ріккаті в квадратурах, відзначимо дві його загальні властивості.

1. Рівняння Ріккаті (як і лінійне рівняння) зберігає свій вигляд при будь-якому перетворенні незалежної змінної

х= (5)

де -- будь-яка неперервно дифференційовна функція, визначена на інтервалі (, причому ? 0, є(.

Дійсно, оскільки

то перетворене рівняння має вигляд:

тобто знову є рівнянням Ріккаті.

2. Рівняння Ріккаті зберігає свій вигляд не тільки при будь-якому лінійному перетворені шуканої функції, але також і при будь-якому дробово-лінійному перетворенні

(6)

де довільні функції, визначені і неперервно дифференційовні на інтервалі (а,в), підпорядковані очевидній умові

Насправді, диференціюючи (6), знаходимо:

(7)

так що ліва частина рівняння (1) заміниться дробом (7). Права частина рівняння (1) після заміни у виразі (6) і зведення до загального знаменника перетвориться в дріб, чисельник який є квадратичною функцією від z, а знаменник - той же, що і у дробі (7). Тому перетворене рівняння знову буде рівнянням Ріккаті.

Застосовуючи те або інше із вказаних перетворень, можемо спростити вигляд рівняння Ріккаті і, таким чином, спростити його вивчення.