§3 Побудова загального розвязку у випадку, коли відомий один частинний розвязок

Існування загального розвязку рівняння Ріккаті випливає із теореми існування загального розвязку.

У відношенні побудови загального розвязку в квадратурах рівняння Ріккаті відрізняється серед нелінійних рівнянь загального виду тим, що знання одного частинного розвязку дає можливість знайти його загальний розвязок у квадратурах. Це випливає із наступної теореми.

Теорема. Якщо відомо один частинний розвязок рівняння Ріккаті, то повний розвзок отримується двома квадратурами.

Доведення. Дійсно, нехай у -- частинний розвязок рівняння Ріккаті (1), так що

? Р(х) у+Q(x) y. (14)

Зробимо у рівнянні (1) заміну шуканої функції, покладемо

, (15)

де z - нова шукана функція. Тоді будемо мати:

+. (16)

Беручи до уваги тотожність (14), отримаємо рівняння Бернуллі:

, (17)

для відшукання функції z, z=z(x).

Рівняння (17) заміною зводиться до лінійного рівняння

. (18)

Тоді рівняння Ріккаті у випадку, коли відомо його один частинний розвязок, інтегрується двома квадратурами. Теорему доведено.

На практиці потрібно одразу робити заміну

, (19)

яка приводить рівняння Ріккаті (1) відразу до лінійного рівняння (18).

Відмітимо два очевидні випадки, коли легко знаходиться частинний розвязок:

, ; (20)

, ; (21)

Приклад. Розглянемо рівняння

. (22)

Неважко переконатись, що -- частинний розвязок рівняння (22). Зробимо заміну

, ()

тоді отримаємо:

, ()

звідки

(23)

Тоді загальний розвязок рівняння (22) має вигляд

(24)

Зауваження. Із формули (19) видно, що на відміну від розвязку лінійного рівняння, розвязок рівняння Ріккаті може перетворюватись в нескінченність при кінцевому значенні х (тобто інтегральна крива може мати вертикальну асимптоту) навіть тоді, коли коефіцієнти P(x), Q(x) і R(x) задані і неперервні при всіх значеннях х.