3. Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования

Рассмотрим систему = f (t, x), x= (x,…, x), (t, x) (1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x(t)), t, постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.

Пусть V (t, x), V:GR, есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V VR, определяемую равенством

V (t, x(t))t.

Лемма 1.

Для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в G, имеет место тождество

V t.

Без доказательства.

Лемма 2.

Дифференцируемая функция U (t, x), U:GR, представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.

Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы, применяя лемму 1 будем иметь тождества

U

Откуда при t=t получим равенство U(t справедливое при всех значениях t и x(t). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь U при всех (t, x) Тогда для любого решения x(t) системы (1) на основании леммы1 будем иметь тождества

а с ним и достаточность.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). Первый интеграл U (t, x) будем называть на G, если при всех (t, x) выполняется неравенство.

Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).

Найдем первый интеграл нашей системы:

Возведем в квадрат и выразим с

y

Положим , получим

Проверим, что функция - это первый интеграл системы (1), т.е. проверим выполнение тождества (2)

Найдем производные по t, x, y

После выше сделанных преобразований получаем, что функция - это первый интеграл системы (1),

2) Положим , т.е. ,

где , Q

3) Проверим выполнение тождества:

(3), где

Преобразуем (3).

[в нашем случае ] = =[учитывая все сделанные обозначения] =

=

=

=[ввиду того, что которое в свою очередь как мы уже показали есть тождественный ноль]

Таким образом, тождество (3) истинное.

4. Отражающая функция

Определение. Рассмотрим систему

(5)

cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение в форме Коши обозначено через ). Через обозначим интервал существования решения .

Пусть

Отражающей функцией системы (5) назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулой

Для отражающей функции справедливы свойства:

1.) для любого решения системы (5) верно тождество

2.) для отражающей функции F любой системы выполнены тождества

3) дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы (5) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных

и начальному условию