Устойчивость линейной системы. Точки покоя.

Пусть дана некоторая автономная система Пусть - такой вектор , что

Точкой покоя автономной системы называется решение имеющее вид:

Интегральная кривая точки покоя параллельна оси t, а в фазовом пространстве точке покоя соответствует обычная n –мерная точка.

t

x₂

x₁ фазовая плоскость

Будем считать, что точка покоя всегда расположена в начале координат.

Исследуем всегда точки покоя вида:

=Ax => точка покоя

Свойство линейной системы.

Все решения линейных систем с точки зрения устойчивости ведут себя так же как точка покоя.

Устойчивость точки покоя зависит от корней характеристического уравнения.

Теорема:

Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть, то такая точка асимптотически устойчива.

Если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть, то точка покоя неустойчива.

Если часть корней чисто мнимая, а у других корней отрицательна вещественная часть, то точка покоя устойчива, но не асимптотически.

Для случая системы 2х2 может дать графическую иллюстрацию.

1 )

x₂

x₁

2 )

неустойчивый узел

3 )

НУ

4)

x₂

устойчивый фокус

5)

x₂

неустойчивый фокус

6 ) x₂ Устойчивый центр (устойчивый не

асимптотичуски

x₁

При исследовании устойчивость нужно знать точно корни характеристического уравнения, что не всегда возможно.

Существуют критерии устойчивость, которые не используют конкретные значения корней- критерии Гурвица или критерий Михайлова.

Если дана неоднородная система, то ) => замена переменных сводят к однородной и исследуют характеристическое уравнение

Если система нелинейная, то исследование устойчивости усложняется:

Используется две методики:

1)Линеаризация системы:

),

Линеаризуют

Эту систему исследуют на устойчивость и в некоторых случаях поведение линеаризованной системы совпадает с данной.

2)Метод функций Ляпунова.

Функция Ляпунова автономной системы с нулевой точкой покоя называется некоторая функция определённая V=V(t) в фазовом пространстве, для которой справедливо следующее утверждение:

1)V ,V=0 

2) V ,V=0

3) ) V ,V=0 - точка покоя неустойчивая.

Отметим:

Аналитических формул для записи ФЛ вообще говоря нет.

В некоторых случаях ФЛ, для конкретной автономной системы, можно подобрать.

Пример:

Т.П.

Характеристическое уравнение:

det(A-

(-2- )(1- )=0

D=1+4( ) = 9+4

1)Если т.п. и система асимптотически АУ.

2)Если т.п. система асимптотически неустойчива.

3)

Понятие о краевой задаче.

Краевая задача - называется следующая задача.

Найти частное решение дифференциального уравнения( или системы)при том, что условие для нахождения произвольных постоянных заданных в разных точках.

К

y

П ример:

y(0)=0, y(x₁)=y₁

y₁

Х арактеристическое уравнение:

x

0= - подставим второе условие.

1)

Если , ,- одно решение краевой задачи.

2)

Если

Если

Если

§26