28.Типы точек покоя

Пусть имеем систему двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами причем

(1)

Причём

Точка  , в которой правые части уравнений системы (1) обращаются в ноль, называется точкой покоя системы (1).

Для исследования точки покоя системы (1) надо составить характеристическое уравнение

(2)

и найти его корни   и  .

Возможны следующие случаи.

1. Корни   характеристического уравнения (2) вещественные и разные:

а)  . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис. 32);

б)  . Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис. 33);

в)  . Точка покоя неустойчива (седло, рис. 34).

2. Корни характеристического уравнения (2) комплексные: 

а)  . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус, рис.35);

б)  . Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус, рис.36);

в)  . Точка покоя устойчива (центр, рис. 37).

3. Корни   кратные:

а)  . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис.38, 39);

б)  . Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис.40, 41).

Теорема. Если все корни характеристического уравнения для системы (6) имеют отрицательную вещественную часть, то точка покоя системы (6)   , асимптотически устойчива. Если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть, то точка покоя неустойчива.