Простейшие типы точек покоя

• Устойчивый узел:

• Неустойчивый узел:

• Устойчивый фокус:

• Неустойчивый фокус:

• Центр:

• Седло:

Пример: Линейная система 2-х уравнений:

, здесь a_ij – постоянные.

Необходимо исследовать положение траекторий в окрестности т. .

Ищем решение в виде: ,.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Корни характеристического уравнения различны и действительны:

а) : точка покоя асимптотически устойчива - устойчивый узел.

б) : имеем неустойчивый узел в точке .

в) : точка покоя неустойчива - седло.

г) : точка покоя неустойчива – фокус.

д) : точка покоя устойчива – устойчивый фокус (не асимптотически).

2. Корни векового уравнения комплексные:

а) : точка покоя – фокус

б) : точка покоя – неустойчивый фокус

в) : точка покоя – центр (асимптотической устойчивости нет)

3. Корни кратны:

а) : точка покоя – асимптотически устойчивый узел

б) : точка покоя – неустойчивый узел

в) : точка покоя неустойчива

Примечание:

Если размерность системы дифференциальных уравнений выше двух, то на ряду с приведенными типами устойчивости точек покоя могут появиться более сложные комбинации типа: узел-седло, узел-фокус, фокус-центр и т.д.

Пример:

Определить в каком случае точка покоя устойчива если k – параметр:

Вековое уравнение:

Асимптотическая устойчивость любого решения будет иметь место при и k>0 и при 1-k>0, т.е. при 0<k<1.

Устойчивость будет в 2-х случаях:

1. k>0, 1-k=0, т.е. при k=1.

2. k=0, 1-k>0, т.е. при k=0.

При всех остальных k нулевое решение не устойчиво.

Примечание:

Для того чтобы физически возможная линейная САУ была устойчива необходимо и достаточно, что бы ее вековая функция удовлетворяла условиям:

Приведенный критерий устойчивости означает, что устойчивость линейной системы определяется лишь ее структурой и параметрами системы и не зависит от поступающих воздействий.