Формула полной вероятности

П усть имеется полная группа событий и для каждого из событий известна вероятность наступления этого события, . Пусть А – некоторое событие, которое может наступить при выполнении одного из событий ; известны условные вероятности , . Необходимо найти .

Из определения следует, что все события, составляющие полную группу, попарно несовместны: ; их объединение образует пространство элементарных исходов . В этом случае событие (см. рисунок) как бы разбивается на части, и подсчитывается средняя вероятность выполнения в зависимости от выполнения одного из событий :

Приведенная формула называется формулой полной вероятности.

Пример 1.20. Студент перед зачетом выучил 20 вопросов из 25. Каждый билет содержит ровно один вопрос из программы. Каким по порядку (первым или вторым) лучше сдавать зачет, при условии, что каждый студент может отвечать только по одному выбранному билету, и каждый билет может быть выбран студентами ровно один раз(выбранный билет обратно не возвращается)?

Решение: Имеем две стратегии сдачи зачета. Обозначим через - событие, что студент выбирает счастливый билет. Тогда, при условии, что студент сдает зачет первым .

При условии, что студент сдает зачет вторым по порядку, возможны следующие события: - студент, сдававший первым, взял билет с вопросом, который наш студент не знает, и - был взят билет с вопросом, который наш студент знает. Тогда и . Несложно подсчитать, что и . По формуле полной вероятности получим

⁵