Формула Байеса

Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу событий. Поскольку неизвестно какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность события определяется по формуле полной вероятности

При условии, что событие произошло, можно вычислить вероятности событий . Имеет место формула Байеса

Вероятности , называются априорными (“a priori” – до опыта), вероятности - называются апостериорными (“a posteriopri” – после опыта). При справедливости гипотезы вероятность наступления события равна . Если в результате опыта событие наступило, то можно уточнить вероятности гипотез по указанной формуле.

Пример 1.21.⁶ Пусть известно, что преступление могло быть совершено ровно одним из двух подозреваемых лиц (события и ); вероятность совершения преступления первым лицом равно , соответственно вторым лицом - . При проведении следственного эксперимента (событие ), обнаружилось, что некоторый факт мог иметь место с вероятностью 0.6, если преступником было первое лицо, и - с вероятностью 0.98 при условии, что преступник – второе лицо. Можно ли говорить о том, что следственный эксперимент подтвердил или опроверг исходные посылки?

Решение: Мы находимся в условиях формулы Байеса. Имеем: , , , . По формуле Байеса

Как мы видим, следственный эксперимент в небольшой степени снял подозрения с первого лица.