Функция распределения случайной величины

При статистических исследованиях приходится рассчитывать вероятности определенных событий. При этом классическая модель определения вероятности мало подходит, поскольку область значений с.в. заранее не задана, и может меняться в достаточно широких пределах. Поэтому для расчетов используют непрерывные случайные величины. Как уже упоминалось выше, для описания дискретной случайной величины достаточно задать вероятность каждого его значения: . Однако в случае случайных величин, принимающих бесконечное множество значений, такой подход неприемлем. Рассмотрим определение функции распределения с.в., которое обобщает оба случая:

Функцией распределения с.в. Х называют функцию , определяющую вероятность того, что с.в. Х в результате испытания примет значение меньше , т.е. . Другими словами, распределение числовой случайной величины – это функция, которая однозначно определяет вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу. Используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях функции распределения бывают либо дискретными, либо непрерывными, либо их комбинациями.

1. Случайная величина принимает конечное число значений. Упорядочим значения с.в. по неубыванию: .

График функции распределения случайной величины Х выглядит следующим образом:

2. Случайная величина является непрерывной и принимает бесконечно много значений. Это возможно лишь тогда, когда вероятностное пространство, на котором определена случайная величина, состоит из бесконечного числа элементарных событий. Для непрерывных с.в. бессмысленно задавать вероятности , поскольку они все равны нулю. Поэтому рассматриваются вероятности принадлежности значений случайной величины интервалу . Можно показать, что . В этом случае мы имеем неубывающую непрерывную функцию распределения. Используемые в статистике непрерывные функции распределения, как правило, имеют производные. Первая производная функции распределения называется функцией плотности вероятности. По плотности вероятности можно определить функцию распределения посредством соотношения . Из соотношений и следует . При этом вероятность определяется по формуле

.

График плотности вероятностей называют кривой распределения. Вероятность попадания случайной величины в интервал численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции и с основанием , т.е. графически вероятность изображается как площадь под кривой, ограниченной пределами значений переменной

А вся площадь под кривой распределения равна единице.

Пример 2. Рассмотрим следующую функцию распределения:

где a и b – некоторые числа, a<b. Ниже на рисунке приведен график этой функции

Беря производные, найдем плотность вероятности этой функции распределения:

(в точках x = a и x = b производная функции F(x) не существует). Заданная функция определяет функцию равномерного распределения на отрезке . график плотности этой случайной величины приведен на рисунке