Производная функции комплексного переменного. Условия Даламбера-Эйлера. Определение аналитической функции. Дифференциал. Производная элементарной функции.

Производная функции комплексного переменного.

Пусть w = f (z) определена в точке z = x + yi и некоторой ее окрестности. Пусть x получает некоторое приращение ∆x, а y – приращение ∆y . Тогда ∆z = ∆x + i∆y – соответствующее приращение переменной z. Пусть ∆w = f (z +∆z) − f (z).

Определение. Если существует предел вида , то он называется производной

функции f (z) в точке z; обозначается

Функция же f (z) называется дифференцируемой в точке z.

Необходимыми и достаточными условиями дифференцируемости f (z) в точке z являются дифференцируемость функций u x,(y и) v x,(y в) точке (x, y) и выполнимость следующих условий Коши-Римана(Даламбера-Эйлера):

Производная дифференцируемой функции может быть записана по одной из формул:

Дифференциал

Определения анал.ф.: Функция w = f (z), дифференцируемая в точке z₀ и некоторой ее окрестности, называется аналитической в точке z₀ .

Функция, аналитическая во всех точках некоторой области G, называется аналитической в этой области.