Классификация особых точек аналитической функции. Вычисление вычета в полюсе. Теорема о вычетах.

Особая точка называется изолированной особой точкой аналитической функции , если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек.

Особая точка может быть в случае или - не существует.

Если особая изолированная точка , то , что .

Разлагается в этом кольце в ряд Лорана:

Правильная часть главная часть

Если нет членов с отрицательными показателями, то точку называют устранимой.

Если имеется конечное число членов с отрицательными степенями, причем наибольшая отрицательная степень имеет вид , то точка - полюс m-того порядка.

Если в разложение есть бесконечное число членов с отрицательными степенями, то точка - называется существенно особенной точкой функции .

Если , то - полюс

Если - не существует, то - существенно особенная.

Вычет аналитической функции в изолированной точки - является комплексным числом . L – окружность в положительном направление с центром в и лежащая в кольце , в котором функция аналитична.

Т.Коши о вычете. Если функция является аналитической в , ограничена контуром L, за исключением конечного число изолированных особых точек , лежащих внутри , то интеграл