Теорема о выборочном среднем. Исправленная выборочная дисперсия.
В качестве точечной оценки для “a” берут выборочную среднюю (выборочной средней называется среднее арифметическое выборки). .
Теорема: выборочная средняя является состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания .
Доказательство:
Нужно доказать, что в вероятностном смысле стремится к “a”, и что - несмещенность. Чтобы доказать это, к последовательности случайных величин , каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и , применим теорему Чебышева: . В левой части – выборочная средняя.
Найдем правую часть. В силу теоремы Чебышева: . Самостоятельность доказана. Вычислим математическое ожидание:
Теорема доказана.
Найдем дисперсию выборочной средней: ,
при .
Исправленная выборочная дисперсия:
Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую, или исправленную, выборочные дисперсии.
Пусть — выборка из распределения вероятности. Тогда
Выборочная дисперсия — это случайная величина , где символ обозначает выборочное среднее.
Несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина .
Очевидно, что
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
- Функциональные ряды. Точка сходимости ряда. Степенной ряд.
- Мажорируемые и равномерно сходящиеся ряды.
- Сходимость степенных рядов. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
- Определение радиуса сходимости степенного ряда. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Свойства степенных рядов.
- Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры (разложение в ряд Тейлора элементарных функций).
- Метрическое пространство. Фундаментальная последовательность. Полное метрическое пространство.
- Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Нормированное пространство. Банаховы пространства.
- Ряды Фурье. Разложение функции по произвольной ортогональной системе функций.
- Тригонометрические ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
- Комплексные числа и действия над ними.
- Возведение в степень
- Последовательности комплексных чисел. Сходимость последовательности комплексных чисел.
- Функции комплексных переменных. Основные элементарные функции комплексного переменного.
- Производная функции комплексного переменного. Условия Даламбера-Эйлера. Определение аналитической функции. Дифференциал. Производная элементарной функции.
- Интегрирование функции комплексного переменного. Сведение интеграла к сумме криволинейных интегралов второго рода.
- Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
- Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Физический смысл аналитической функции.
- Классификация особых точек аналитической функции. Вычисление вычета в полюсе. Теорема о вычетах.
- Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- Закон радиоактивного распада.
- Общий интеграл. Общее решение. Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения.
- Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
- Метод вариации произвольной постоянной.
- Уравнение в полных дифференциалах.
- Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
- Линейные дифференциальные уравнения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
- Линейные однородные дифференциальные уравнения n-того порядка. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.
- Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
- Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
- Системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. Теорема Коши. Метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений.
- Случайные события и их вероятности.
- Операции над событиями. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности.
- Свойства вероятности. Применение комбинаторики к вычислению вероятности.
- Условные вероятности. Независимость событий.
- Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- Предельная теорема в схеме Бернулли. Формула Пуассона.
- Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- Системы случайных величин. Функции распределения системы случайных величин.
- Плотности вероятности системы случайных величин. Условные законы распределения.
- Математическое ожидание и дисперсия случайных величин.
- Условное математическое ожидание. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции.
- Сходимость по вероятности. Второе неравенство Чебышева.
- Правило трех сигм. Теорема Маркова.
- Теорема Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова).
- Предмет математической статистики. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
- Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики статистического распределения.
- Статистическая оценка параметров. Несмещенная, эффективная и состоятельная оценки.
- Теорема о выборочном среднем. Исправленная выборочная дисперсия.
- Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
- Интервальное оценивание параметров. Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии.
- Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
- Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.
- Проверка статистических гипотез. Критерий Колмогорова.