Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.

ДУ порядка выше первого называется ДУ высших порядков.

Общее решение:

Частное решение: при начальных условиях

Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка. Т.е. уравнения вида . Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием:

26. Yandex.RTB R-A-252273-3
    Содержание

    • Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
    • Функциональные ряды. Точка сходимости ряда. Степенной ряд.
    • Мажорируемые и равномерно сходящиеся ряды.
    • Сходимость степенных рядов. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
    • Определение радиуса сходимости степенного ряда. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Свойства степенных рядов.
    • Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры (разложение в ряд Тейлора элементарных функций).
    • Метрическое пространство. Фундаментальная последовательность. Полное метрическое пространство.
    • Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Нормированное пространство. Банаховы пространства.
    • Ряды Фурье. Разложение функции по произвольной ортогональной системе функций.
    • Тригонометрические ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
    • Комплексные числа и действия над ними.
    • Возведение в степень
    • Последовательности комплексных чисел. Сходимость последовательности комплексных чисел.
    • Функции комплексных переменных. Основные элементарные функции комплексного переменного.
    • Производная функции комплексного переменного. Условия Даламбера-Эйлера. Определение аналитической функции. Дифференциал. Производная элементарной функции.
    • Интегрирование функции комплексного переменного. Сведение интеграла к сумме криволинейных интегралов второго рода.
    • Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
    • Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Физический смысл аналитической функции.
    • Классификация особых точек аналитической функции. Вычисление вычета в полюсе. Теорема о вычетах.
    • Обыкновенные дифференциальные уравнения.
    • Закон радиоактивного распада.
    • Общий интеграл. Общее решение. Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения.
    • Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
    • Метод вариации произвольной постоянной.
    • Уравнение в полных дифференциалах.
    • Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
    • Линейные дифференциальные уравнения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
    • Линейные однородные дифференциальные уравнения n-того порядка. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.
    • Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
    • Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
    • Системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. Теорема Коши. Метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений.
    • Случайные события и их вероятности.
    • Операции над событиями. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности.
    • Свойства вероятности. Применение комбинаторики к вычислению вероятности.
    • Условные вероятности. Независимость событий.
    • Формула полной вероятности. Формула Байеса.
    • Предельная теорема в схеме Бернулли. Формула Пуассона.
    • Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
    • Системы случайных величин. Функции распределения системы случайных величин.
    • Плотности вероятности системы случайных величин. Условные законы распределения.
    • Математическое ожидание и дисперсия случайных величин.
    • Условное математическое ожидание. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции.
    • Сходимость по вероятности. Второе неравенство Чебышева.
    • Правило трех сигм. Теорема Маркова.
    • Теорема Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова).
    • Предмет математической статистики. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
    • Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики статистического распределения.
    • Статистическая оценка параметров. Несмещенная, эффективная и состоятельная оценки.
    • Теорема о выборочном среднем. Исправленная выборочная дисперсия.
    • Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
    • Интервальное оценивание параметров. Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии.
    • Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
    • Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.
    • Проверка статистических гипотез. Критерий Колмогорова.

    Yandex.RTB R-A-252273-4