Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

Пусть случайная величина  (можно говорить о генеральной совокупности) распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия D =  ² ( > 0). Из генеральной совокупности (на множестве объектов которой определена случайная величина) делается выборка объема n. Выборка x₁, x₂,..., x_n рассматривается как совокупность n независимых случайных величин, распределенных так же как  (подход, которому дано объяснение выше по тексту).

Ранее также обсуждались и доказаны следующие равенства:

Mx₁ = Mx₂ = ... = Mx_n = M;

Dx₁ = Dx₂ = ... = Dx_n = D;

M;

D /n;

Достаточно просто доказать (мы доказательство опускаем), что случайная величина в данном случае также распределена по нормальному закону.

Обозначим неизвестную величину M через a и подберем по заданной надежности  число d > 0 так, чтобы выполнялось условие:

P( – a < d) =  (1)

Так как случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием M = M = a и дисперсией D = D /n =  ²/n, получаем:

P( – a < d) =P(a – d < < a + d) = =

Осталось подобрать d таким, чтобы выполнялось равенство или .

Для любого  [0;1] можно по таблице найти такое число t, что ( t )=  / 2. Это число t иногда называют квантилем.

Теперь из равенства определим значение d: .

Окончательный результат получим, представив формулу (1) в виде: .

Смысл последней формулы состоит в следующем: с надежностью  доверительный интервал

покрывает неизвестный параметр a = M генеральной совокупности. Можно сказать иначе: точечная оценка определяет значение параметра M с точностью d= t / и надежностью .

Задача. Пусть имеется генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по нормальному закону с дисперсией, равной 6,25. Произведена выборка объема n = 27 и получено средневыборочное значение характеристики = 12. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью  =0,99.

Решение. Сначала по таблице для функции Лапласа найдем значение t из равенства  (t) =  / 2 = 0,495. По полученному значению t = 2,58 определим точность оценки (или половину длины доверительного интервала) d: d = 2,52,58 /   1,24. Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (10,76; 13,24).

52. Yandex.RTB R-A-252273-3
    Содержание

    • Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
    • Функциональные ряды. Точка сходимости ряда. Степенной ряд.
    • Мажорируемые и равномерно сходящиеся ряды.
    • Сходимость степенных рядов. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
    • Определение радиуса сходимости степенного ряда. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Свойства степенных рядов.
    • Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры (разложение в ряд Тейлора элементарных функций).
    • Метрическое пространство. Фундаментальная последовательность. Полное метрическое пространство.
    • Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Нормированное пространство. Банаховы пространства.
    • Ряды Фурье. Разложение функции по произвольной ортогональной системе функций.
    • Тригонометрические ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
    • Комплексные числа и действия над ними.
    • Возведение в степень
    • Последовательности комплексных чисел. Сходимость последовательности комплексных чисел.
    • Функции комплексных переменных. Основные элементарные функции комплексного переменного.
    • Производная функции комплексного переменного. Условия Даламбера-Эйлера. Определение аналитической функции. Дифференциал. Производная элементарной функции.
    • Интегрирование функции комплексного переменного. Сведение интеграла к сумме криволинейных интегралов второго рода.
    • Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
    • Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Физический смысл аналитической функции.
    • Классификация особых точек аналитической функции. Вычисление вычета в полюсе. Теорема о вычетах.
    • Обыкновенные дифференциальные уравнения.
    • Закон радиоактивного распада.
    • Общий интеграл. Общее решение. Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения.
    • Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
    • Метод вариации произвольной постоянной.
    • Уравнение в полных дифференциалах.
    • Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
    • Линейные дифференциальные уравнения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
    • Линейные однородные дифференциальные уравнения n-того порядка. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.
    • Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
    • Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
    • Системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. Теорема Коши. Метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений.
    • Случайные события и их вероятности.
    • Операции над событиями. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности.
    • Свойства вероятности. Применение комбинаторики к вычислению вероятности.
    • Условные вероятности. Независимость событий.
    • Формула полной вероятности. Формула Байеса.
    • Предельная теорема в схеме Бернулли. Формула Пуассона.
    • Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
    • Системы случайных величин. Функции распределения системы случайных величин.
    • Плотности вероятности системы случайных величин. Условные законы распределения.
    • Математическое ожидание и дисперсия случайных величин.
    • Условное математическое ожидание. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции.
    • Сходимость по вероятности. Второе неравенство Чебышева.
    • Правило трех сигм. Теорема Маркова.
    • Теорема Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова).
    • Предмет математической статистики. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
    • Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики статистического распределения.
    • Статистическая оценка параметров. Несмещенная, эффективная и состоятельная оценки.
    • Теорема о выборочном среднем. Исправленная выборочная дисперсия.
    • Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
    • Интервальное оценивание параметров. Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии.
    • Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
    • Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.
    • Проверка статистических гипотез. Критерий Колмогорова.

    Yandex.RTB R-A-252273-4