Сходимость степенных рядов. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех .

Доказательство: Пусть ряд сходится, тогда и потому существует такая постоянная , что В силу этого для n-ого члена ряда имеем . Если , то ряд - сходится. Поэтому по признаку сравнения сходится и ряд , а это означает абсолютную сходимость ряда при .

Следствие. Если степенной ряд расходиться при , то он расходится при всех

Радиус сходимости степенного ряда – радиус круга сходимости степенного ряда, т.е. такое число , что ряд сходится при и расходится при . На границе круга сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться.

5. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
   • Функциональные ряды. Точка сходимости ряда. Степенной ряд.
   • Мажорируемые и равномерно сходящиеся ряды.
   • Сходимость степенных рядов. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
   • Определение радиуса сходимости степенного ряда. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Свойства степенных рядов.
   • Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры (разложение в ряд Тейлора элементарных функций).
   • Метрическое пространство. Фундаментальная последовательность. Полное метрическое пространство.
   • Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Нормированное пространство. Банаховы пространства.
   • Ряды Фурье. Разложение функции по произвольной ортогональной системе функций.
   • Тригонометрические ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
   • Комплексные числа и действия над ними.
   • Возведение в степень
   • Последовательности комплексных чисел. Сходимость последовательности комплексных чисел.
   • Функции комплексных переменных. Основные элементарные функции комплексного переменного.
   • Производная функции комплексного переменного. Условия Даламбера-Эйлера. Определение аналитической функции. Дифференциал. Производная элементарной функции.
   • Интегрирование функции комплексного переменного. Сведение интеграла к сумме криволинейных интегралов второго рода.
   • Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
   • Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Физический смысл аналитической функции.
   • Классификация особых точек аналитической функции. Вычисление вычета в полюсе. Теорема о вычетах.
   • Обыкновенные дифференциальные уравнения.
   • Закон радиоактивного распада.
   • Общий интеграл. Общее решение. Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения.
   • Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
   • Метод вариации произвольной постоянной.
   • Уравнение в полных дифференциалах.
   • Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
   • Линейные дифференциальные уравнения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
   • Линейные однородные дифференциальные уравнения n-того порядка. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.
   • Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
   • Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
   • Системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. Теорема Коши. Метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений.
   • Случайные события и их вероятности.
   • Операции над событиями. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности.
   • Свойства вероятности. Применение комбинаторики к вычислению вероятности.
   • Условные вероятности. Независимость событий.
   • Формула полной вероятности. Формула Байеса.
   • Предельная теорема в схеме Бернулли. Формула Пуассона.
   • Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
   • Системы случайных величин. Функции распределения системы случайных величин.
   • Плотности вероятности системы случайных величин. Условные законы распределения.
   • Математическое ожидание и дисперсия случайных величин.
   • Условное математическое ожидание. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции.
   • Сходимость по вероятности. Второе неравенство Чебышева.
   • Правило трех сигм. Теорема Маркова.
   • Теорема Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова).
   • Предмет математической статистики. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
   • Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики статистического распределения.
   • Статистическая оценка параметров. Несмещенная, эффективная и состоятельная оценки.
   • Теорема о выборочном среднем. Исправленная выборочная дисперсия.
   • Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
   • Интервальное оценивание параметров. Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии.
   • Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
   • Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.
   • Проверка статистических гипотез. Критерий Колмогорова.

   Yandex.RTB R-A-252273-4