Общий интеграл. Общее решение. Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения.

Общим решением ДУ называется функция , которое обращает ДУ в тождество при всяком фиксированном С.

Если общее решение найдено в неявном виде , то тогда такое решение называется общим интегралом ДУ.

Определение задачи Коши. Задачей Коши называется задача, в которой для дифференциального уравнения заданы только начальные условия (t=0, y(0)=0, y'(0)=y'₀ и т.д.) и не накладывается никаких граничных условий, (т.е. граница отсутствует).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши: Если функция и её частная производная - определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Oxy, то какова бы ни была внутренняя т. , в некоторой окрестности это точки существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию при

Геометрически: через каждую точку внутри области G проходит единственная интегральная кривая.

Важно также понимать, что теорема содержит только достаточные условия существования и единственности решения — при нарушении условий теоремы задача Коши может иметь или не иметь решений, может иметь несколько решений.

22. Yandex.RTB R-A-252273-3
    Содержание

    • Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
    • Функциональные ряды. Точка сходимости ряда. Степенной ряд.
    • Мажорируемые и равномерно сходящиеся ряды.
    • Сходимость степенных рядов. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
    • Определение радиуса сходимости степенного ряда. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Свойства степенных рядов.
    • Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры (разложение в ряд Тейлора элементарных функций).
    • Метрическое пространство. Фундаментальная последовательность. Полное метрическое пространство.
    • Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Нормированное пространство. Банаховы пространства.
    • Ряды Фурье. Разложение функции по произвольной ортогональной системе функций.
    • Тригонометрические ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
    • Комплексные числа и действия над ними.
    • Возведение в степень
    • Последовательности комплексных чисел. Сходимость последовательности комплексных чисел.
    • Функции комплексных переменных. Основные элементарные функции комплексного переменного.
    • Производная функции комплексного переменного. Условия Даламбера-Эйлера. Определение аналитической функции. Дифференциал. Производная элементарной функции.
    • Интегрирование функции комплексного переменного. Сведение интеграла к сумме криволинейных интегралов второго рода.
    • Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
    • Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Физический смысл аналитической функции.
    • Классификация особых точек аналитической функции. Вычисление вычета в полюсе. Теорема о вычетах.
    • Обыкновенные дифференциальные уравнения.
    • Закон радиоактивного распада.
    • Общий интеграл. Общее решение. Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения.
    • Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
    • Метод вариации произвольной постоянной.
    • Уравнение в полных дифференциалах.
    • Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
    • Линейные дифференциальные уравнения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
    • Линейные однородные дифференциальные уравнения n-того порядка. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.
    • Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
    • Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
    • Системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. Теорема Коши. Метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений.
    • Случайные события и их вероятности.
    • Операции над событиями. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности.
    • Свойства вероятности. Применение комбинаторики к вычислению вероятности.
    • Условные вероятности. Независимость событий.
    • Формула полной вероятности. Формула Байеса.
    • Предельная теорема в схеме Бернулли. Формула Пуассона.
    • Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
    • Системы случайных величин. Функции распределения системы случайных величин.
    • Плотности вероятности системы случайных величин. Условные законы распределения.
    • Математическое ожидание и дисперсия случайных величин.
    • Условное математическое ожидание. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции.
    • Сходимость по вероятности. Второе неравенство Чебышева.
    • Правило трех сигм. Теорема Маркова.
    • Теорема Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова).
    • Предмет математической статистики. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
    • Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики статистического распределения.
    • Статистическая оценка параметров. Несмещенная, эффективная и состоятельная оценки.
    • Теорема о выборочном среднем. Исправленная выборочная дисперсия.
    • Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
    • Интервальное оценивание параметров. Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии.
    • Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
    • Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.
    • Проверка статистических гипотез. Критерий Колмогорова.

    Yandex.RTB R-A-252273-4