Теорема Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова).

Теорема Чебышёва: Для независимых случайных величин соотношение (при любом и ) верно при весьма общих предположениях:

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.

Всегда найдётся такое количество испытаний, при котором с любой заданной наперёд вероятностью относительная частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности.

Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.

Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова): Пусть случайные величины {X_i} имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность . Если предел (условие Ляпунова), то по распределению при .