Метод вариации произвольной постоянной.

Метод вариации произвольной постоянной или метод Лагранжа - метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

Пусть найдено общее решение . Функции образуют фундаментальную систему решений. Будем искать частное решение уравнения в виде , где — пока не известные функции. Для их определения составим систему уравнений. Имеем .

Пусть = 0, тогда . Подставим в уравнение, после чего мы можем сгруппирировать слагаемые содержащие и

Выражения в круглых скобках равны нулю, так как — решения однородного уравнения. Поэтому для определения получаем систему Система имеет единственное решение, так как ее определитель. Интегрируя полученные и найдем и т.е. частное решение .