14. Методика вивчення тригонометричних рівнянь і нерівностей.Методика вивчення тригонометричних ф-цій.

Основними тригонометричними ф-ями є синус , косинус , тангенс. Вперше вводяться в курсі геометрії 8 кл. Доводяться твердження про зміну синуса , косинуса і тангенса при зростані кута . Отже учні переконуютьс у тому , що снує залежність між градусною мірою кута А і значенням синуса А , косинуса А , тангенса А.Озн. запроваджуються в два етапи : 1 етап- вводиться озн. Косинуса гострого кута як відношення прилеглого катита прямокутного трикутника до гіпотенузи(т. Піфагора).

2 етап- вводиться озн. через тригонометричні тотожності.

Озн. синуса:У методичній літературі свого часу велась дискусія з приводу означення поняття тригонометричного рівняння. Тригонометричним пропонувалось називати:

1) рівняння, в якому змінна входить лише під знак тригоно­метричної функції (у такому разі рівняння вигляду sin х+х=0 не належить до тригонометричних; його пропонували називати «трансцендентним»);

2) рівняння, в якому змінна входить під знак тригонометричної функції (тоді рівняння sin х+х=0 вважалось тригонометричним).

Розбіжність в означеннях не є принциповою. Слід наголосити на принциповій відмінності тригонометричних рівнянь від алгеб­раїчних: тригонометричні рівняння, в яких змінна входить лише під знак тригонометричної функції, або зовсім не мають роз­в'язків, або мають їх здебільшого безліч. Це пов'язано з власти­вістю періодичності тригонометричних функцій.

Найпростіші тригонометричні рівняння. До них відносять рівняння вигляду

sin х = а, соs х = а, tg х = а.

Важливо домогтись, щоб учні не формально запам'я­товували формули загального розв'язку, а усвідомлювали, чому одержуються саме такі формули, а не інші. Доцільно розглянути два способи розв'язування найпростіших тригонометричних рів­нянь: 1) графічний спосіб; 2) знаходження розв'язків за допомо­гою одиничного кола. Покажемо це на прикладі розв'язування рівняння sinх=а.Окремі способи розв'язування тригонометричних рівнянь з метою ознайомлення з ними і порівняння зручно показати на прикладі одного рівняння

Sin x – cos x = 0

Спосіб зведення до однієї тригонометричної функції.

Спосіб розкладання на множники.

Спосіб розв'язування однорідних рівнянь.

Спосіб введення допоміжного аргументу.

Спосіб піднесення до квадрата.

Графічний спосіб

Доцільно спеціально розглянути в загальному вигляді способи розв'язування однорідних і лінійних тригонометричних рівнянь, які використовувались під час розв'язування рівняння.

Однорідними називають такі тригонометричні рівняння, в яких кожний член лівої частини - многочлен того самого степеня відносно синуса і косинуса, а права частина - число 0.

Лінійним тригонометричним рівнянням називається рівняння вигляду a sin x + b cos x =c

Програма курсу алгебри і початків аналізу передбачає озна­йомлення учнів зі способами розв'язування лише найпростіших тригонометричних нерівностей вигляду sin x>=a, sinx<=a, cosx>=а, cos x <= а, tg x >=а, tg х<=а. Досвід показав, що най­зручніше це зробити за допомогою одиничного кола.