5.Діяльнісний підхід до навчання мат-ки. Аналіз, синтез, порівняння.

Аналіз (від грецьк. - розкладання, розчленування, розбір) і синтез (від грецьк.- з'єднання, складання, об'єднан­ня) - взаємо обернені дії, складові процесу мислення. У МНМ аналіз викор. під час розв'язування задач і доведення теорем, коли у формулю­ванні задачі або теореми розчленовуються умови і вимоги, виділяються величини або фігури, про які йдеться в задачі або теоремі, елементи фігури або інші фігури, що входять до складу даної, виділяються етапи розв'язування задачі тощо. Вживаються також терміни: «аналіз уроку», коли виділяються його складові частини для з'ясування, чи досягнуто на уроці поставлених цілей; «аналіз контрольної роботи», коли ставиться завдання виділити типові помилки, яких припустилися учні, і здійснити корекцію знань і умінь. У реальній розумовій діяльності аналіз і синтез нерозривно пов'язані. Аналіз - міркування від того, що треба знай­ти або довести, до того, що дано або встановлено раніше. Син­тез - міркування, що проводиться у зворотному напрямі.

Порівняння - це розумова дія, спрямована на виділення спільного і відмінного в предметах і явищах. Порівняння починається з спів­відношення предметів або явищ, тобто із синтезу, а далі від­бувається аналіз об'єктів, що порівнюються, виділення в них спільного (однакового) і відмінного. Виділене завдяки аналізу суттєве спільне об'єднує, тобто синтезує об'єкти. Цим самим здійснюється узагальнення. Порівняння - обов'язкова умова аб­страгування і узагальнення. Виділяються дві форми по­рівняння - зіставлення і про­тиставлення. Зіставлення - це розумова дія, спрямована на виділення суттєвих ознак, спільних для деяких об'єктів. Протиставлення спрямоване на виділення відмінного, несуттєвого, від чого можна відволі­катися. Порівняння виконується лише в сукупності однорідних об'єк­тів, які утворюють певний клас. Аналогія (від грецьк. - відповідність, схожість) - прийом розумової діяльності, спрямований на одержання нових знань про властивості, ознаки, відношення предметів і явищ, що вивчаються, на підставі знань про їхню часткову схожість. Висновки за аналогією можуть виявитись або правильними, або хибними, тобто мають гіпотетичний характер. Вони потре­бують спеціального обґрунтування правильності чи хибності за допомогою дедуктивних міркувань (доведень). Використання аналогій під час формування понять сприяє ак­тивізації розумової діяльності школярів, оскільки, встановивши, що нове поняття аналогічне відомому раніше, учень може припу­стити збіг властивостей цих понять. Порівняння аналогічних по­нять дає можливість встановити однакові властивості, а також виявити властивості, що не збігаються. Це сприяє глибшому усвідомленню властивостей нових понять, міцному їх запам'я­товуванню і запобіганню помилок.

Абстрагування – розумова дія, спрямована на виділення в предметах і явищах суттєвого і відокремлення несуттєвого в них. Результатом абстрагування є абстракції – образи створені людським розумом. Кожна теорема – абстрактне твердження про абстракт. образи і відношення. Мислення йде від конкретного до абстрактного. Конкретними наз. об’єкти, які не є абстрактними, але і менш загальними. При доведенні кожної теореми ми конкретизуємо, а потім узагальнення. Узагальнення знаходження спільного в заданих предметах і явищах. Узагал. користуються в різних видах навч.-пізнав. діял-ті під час вивчення мат-ки: формуючи поняття, доводячи теореми, розв’язуючи задачі. Спільні влас-ті які можнв відокремити від певного класу предметів, незалежні ознаки об’єкта, кожна з яких є необхідною, а всі разом достатніми для того щоб він належав до даного поняття. Використ. 2 прийоми узагал.:1-й учні зіставляють задані об’єкти, виділяють і формулюють їхні суттєві спільні ознаки, залишають осторонь несуттєві, і об’єднують об’єкти за цими ознаками, 2-й – учні знають, які суттєві спільні ознаки треба виявити, тому із даних об’єктів вони виділяють ті, які відповідають змісту поняття, що формується, виділяючи в кожному об’єкті ці ознаки і обєднують об’єкти за суттєвими спільними ознаками. Узагал. теорем відбувається за змістом.

Індукція (від лат. - наведення) - форма індукція і дедукція мислення, за допомогою якої думка на­водиться на яке-небудь загальне твердження, що стосується одиничних предметів певної множини. Дедукція (від лат. - виведення) - форма мислення, за допомогою якої від відомого загального твердження перехо­дять до менш загальних або одиничних.

У шкільному курсі математики розрізняють три види індукції (індуктивних умовиводів).

1)Неповна індукція- міркування від окремого до загаль­ного, тобто умовивід, який ґрунтується на вивченні властивостей окремих об'єктів певної сукупності і поширюється на всі її об'єк­ти. Отже, умовиводи методом неповної індукції лише правдо­подібні, тому потребують доведення.

2)Повна індукція - умовивід, у правильності якого пере­конуються, розглядаючи всі окремі випадки (об'єкти, фігури, числа), що утворюють скінчену множину. Твердження, що ґрунтуються на застосуванні повної індукції, завжди правильні, тобто повна індукція є методом доведення.

3)Математична індукція. Один з найважливіших ме­тодів доведення математичних тверджень, які охоплюють нескін­ченну кількість випадків (залежать від натурального n), ґрун­тується на принципі (аксіомі) індукції.