1.Необходимые условия

Рассмотрим функцию

u = f(x₁,x₂,….,x_n,x_n+1,…,x_n+m), u = f(x) (1)

определенную в области DR^n+m. Обозначим через D₁ множество точек из D , удовлетворяющих n условиям

, Ф(x)=0. (2)

Условия (2) назовем уравнениями связи.

Определение. Точка x⁰ называется точкой условного максимума функции (1) при связях (2), если существует окрестность этой точки U(x⁰) такая, что

 x  U(x⁰)D₁ : f(x) < f(x⁰).

Аналогично определяется условный минимум и условный экстремум.

Введем обозначения p=(x_n+1,x_n+2,…,x_n+m), q=(x₁,x₂,…,x_n), x=(q,p)=(x₁,x₂,…,x_n+m) и предположим, что Ф C¹(D) и

, в области D.

В этом случае в каждой точке области D₁ выполнены условия теоремы существования и единственности системы функций, заданных неявно системой уравнений (2) и эту систему можно разрешить относительно q, q=(p) в окрестности точки p⁰=

(3)

Таким образом, любая точка из D₁ может быть записана в виде

(₁(p),₂(p),…,_n(p),p).

Тогда необходимым и достаточным условием для условного экстремума в точке x⁰ будет «безусловный» экстремумом функции

F(p) = f(₁(p),₂(p),…,_n(p),p) в точке p⁰.

В силу этого необходимыми условиями условного экстремума будет условия

j=n+1,n+2,…,n+m.

В частности,

dF = df = (4)

Продифференцируем тождества (2)

(5)

Умножим каждое уравнение из (5) на _i сложим их (возьмем линейную комбинацию) и уравнение (4). В результате получим систему

(6)

Выберем _I так, чтобы множители при зависимых dx_j (j=1,2,…,n) обращались в 0

, j=1,2,…,n. (7)

Тогда из (6) получим

. (8)

Так как dx_j , j=n+1,…,n+m – дифференциалы независимых переменных, то из (8) следует, что

, j=n+1,n+2,…,n+m. (9)

Таким образом, как это следует из (7), (9) это соотношение будет выполнено для всех j

, j=1,2,…,n+m. (10)

Поводя итог, можно сказать, что точка условного экстремума x⁰ должна удовлетворять системам уравнений (2), (10)

,

, j=1,2,…,n+m,

которые дают m+2n уравнений для определения m+2n неизвестных: n+m координат точки x⁰ и неопределенных множителей _j . Эти множители называются множителями Лагранжа. Доказанное утверждение сформулирует в виде теоремы

Теорема (необходимые условия для условного экстремума). Пусть функция

u = f(x₁,…,x_n+m)

определена в области DR^n+m, x⁰ внутренняя точка D и заданы n непрерывно дифференцируемые связи

,

причем

0, в точке x⁰.

Тогда в точке x⁰ выполнены условия

, j=1,…,n+m. (11)

Замечание. При составления уравнений (11) для поиска точек «подозрительных» на условный экстремум удобно использовать функцию Лагранжа

L = f + ,

условия (11) тогда запишутся в виде

(или dL=0).