1.Дифференцируемость. Производные отображения

Дано отображение y = f(x), x  Rⁿ , y  R^p . Это отображение называется непрерывным в точке x⁰ (будем предполагать, что x⁰ внутренняя точка области определения и y⁰=f(x⁰) ), если для любой окрестности точки U(y⁰) существует окрестность U(x⁰) такая, что x U(x⁰) f(x)  U(y⁰). Отображение непрерывное в каждой точке множества называется непрерывным на этом множестве. Можно показать, что непрерывное отображение переводит открытое множество в открытое множество. Обратное тоже верно.

Определение. Отображение y = f(x) из DRⁿ в D* R^p называется дифференцируемым в точке x⁰ , если в некоторой окрестности точки x⁰ справедливо равенство

f_i = +_i (x,x⁰), i=1,2,…,p, _i 0 при x x⁰ ,

.

Главная линейная часть

L(x,x) =

называется дифференциалом отображения f в точке x⁰ . Иногда L называется производным отображением.

Теорема (достаточные условия дифференцируемости отображения). Пусть отображение y = f(x) из DRⁿ в D*R^p определяется дифференцируемыми в точке x⁰ функциями

,

тогда f дифференцируема и .

Утверждение следует непосредственно из определения дифференцируемости.