1.Необходимые и достаточные условия зависимости функций

Определение. Пусть функции

определены и дифференцируемы в открытой области D. Одна из этих функций, например, f₁ называется функционально зависящей в области D от остальных, если существует дифференцируемая функция Ф :

f₁(x) = Ф(f₂(x),f₃(x),…,f_p(x)),  x  D.

Функции y₁,…,y_p называются функционально зависимыми в области D, если одна из них зависит в D от остальных. В противном случае система называется независимой.

Теорема 1 (необходимое условие зависимости функций). Пусть дана система функционально зависимых в области D функций

.

Тогда в любой точке D ранг rang< n .

Доказательство. Предположим для определенности, что

f_n(x) = Ф(f₁(x),…,f_n-1(x)),  x  D.

Тогда по правилу дифференцирования сложных функций

.

Эти равенства означают, что n –я строка матрицы Якоби является линейной комбинацией остальных строк.

Следствие 1. m=0 и система зависимая. Тогда якобиан =0 в области D.

Следствие 2 (достаточное условие функциональной независимости). Пусть rang=n в точке x⁰ , тогда система независима в D.

Теорема 2 ((достаточное условие функциональной зависимости). Если

rang r < n в любой точке области D, а в некоторой точке x⁰ ранг rang= r

0 . (2)

Тогда

1. все r функций являются независимыми в областиD,

2. существует окрестность точки x⁰, в которой любые из оставшихся функций зависят от выбранных r функций.