3 Касательная к поверхности, заданной неявно

Рассмотрим поверхность заданную неявно уравнением

F(x, y, z) = 0.

Будем предполагать выполненными условия теоремы существования неявной функции z = f(x,y) в окрестности точки P⁰=(x⁰, y⁰) (,M⁰=(x⁰, y⁰, z⁰), z⁰=f(x⁰, y⁰)). Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M⁰, будет иметь вид

. (1)

С другой стороны, для неявно заданной функции

, .

Подставляя эти выражения в (1) получим

или

. (2)

Отсюда следует следующее правило для построения касательной плоскости к поверхности, заданной неявно.

Нужно взять дифференциал левой и правой части уравнения (1)

dF=0

и в полученном выражении частные производные вычислить в интересующей нас точке поверхности M⁰ , а дифференциалы dx, dy, dz нужно заменить на (x-x⁰), (y-y⁰), (z-z⁰) соответственно.

Замечание. Формула (2) будет справедлива и в случаях, когда уравнение (1) можно разрешить относительно y (в случае выполнения условия ) или относительно x (при выполнении условия ).