2.Достаточные условия

Пусть в точке x⁰= выполнены необходимые условия экстремума. Вопрос о наличии экстремума в этой точке зависит от поведения f=f(x) – f(x⁰) при условии, что xD₁ (область определяемая уравнениями связи). Для таких точек _I = 0, поэтому f = L, и вопрос исследования поведения f сводится к исследованию поведения приращения функции Лагранжа L. По формуле Тейлора

L = ,_ij0 при x_i0.

Если выразить «зависимые» x_i через x_i независимых переменных (это можно сделать, продифференцировав уравнения связи), то можно получить выражение для L следующего вида

L = ,_ij0 при x_i0.

После этого можно использовать условия для «безусловных» экстремумом для квадратичной формы .

Пример 1. Частный случай

, L=f+, dL=0 (необходимое условие)

, L=d ²L+,

0=d=, dy=-dx, после подстановки получим

L = Bx²+o(x²). В зависимости от полученного коэффициента B можно сделать вывод о наличии условного экстремума.

Пример 2.

u=x²+12xy+2y², 4x²+y²=25.

L=x²+12xy+2y²+(4x²+y²-25), dL=(2x+12y+8x)dx+(4y+12x+2y)dy,

, , 4²+9-34=0, _1,2=2;.

₁=2, ,3x+2y=0, y=-x,

4x²+x²=25, x²=25, x=2,

₁=2, точки (2,-3), (-2,3).

₂=,,-8x+3y=0, y=x, 4x²+x²=25, x²=25, x=.

₁=,точки (,4), (-,-4).

d²L=(2+8)dx²+24dxdy+(4+2)dy², 8xdx+2ydy=0, dy = -4dx.

1. (2,-3), =2

d²L=(2+16)dx²-244dx²+816dx²=[18+64+…]dx² минимум.

Пример 3 (3659). u = x – 2y + 2z, x² + y² + z² = 1

L = x – 2y + 2z +( x² + y² + z² – 1)

dL =(1 + 2 x)dx +( – 2 + 2 y)dy +(2 + 2 z)dz,

d ²L = 2 dx² + 2 dy² + 2 dz²

1 + 2x = 0, -1 +  y = 0, 1 +  z =0,

x = , y = , z = , подставляя в уравнение связи найдем  = 3/2

(-1/3, 2/3, -2/3)  = 3/2

(1/3, -2/3, 2/3)  = -3/2, дифференцируя уравнение связи получим

xdx+ydy+zdz = 0, dz = ,dz² = …,

d ²L = … = < главные миноры , 9².

математический анализ. 2 семестр. Логинов А.С. 2005 г. loginov_1999@mail.ru20