1.Матрица Якоби отображения, якобиан

Рассмотрим систему из p функций

(кратко y=f(x)) (1)

заданных на открытом множестве DRⁿ , область значений обозначим D*

D* = {yR^p : y = f(x), xD}. Таким образом, задано отображение f:DD*. Если для каждой точки yD* существует единственное xD: y=f(x) , то можно говорить об обратном отображении f^-1 : D*D . Говорят, что данное отображение или функция принадлежит классу C¹ (или непрерывно дифференцируемо), если непрерывно дифференцируемы все функции f_k(x). Матрица Якоби отображения f определяется, как матрица типа pn

Ф=Ф_f ==.

Если p=n , то определитель этой матрицы называется якобианом

det Ф =.

Примеры отображений

1. Тождественное отображение. Матрица Якоби – единичная матрица, якобиан = 1.

2. Кривая в n –мерном пространстве представляет собой отображение из R в Rⁿ . Матрица Якоби представляет собой вектор столбец, являющийся касательным вектором к данной кривой в соответствующей точке.

3. Поверхность в 3-мерном пространстве. Отображение R²R³. Главные миноры матрицы Якоби являются координатами касательного вектора к поверхности.

Если имеются два отображения  : D,DRⁿ (или x=(t),tR^m) и f : DD*R^p (или y=f(x),xD) , то можно говорить о суперпозиции отображений y=f((t)) , действующим из  в D* .