logo
Математический анализ 2 семестр / chapter_6

1.Существование неявной функции одного переменного

Пусть F(x,y) определена в окрестности U(M0) точки M0=(x0,y0) . Если

 > 0 x(x0 - , x0 + ) yx : F(x, yx )=0 ,

то говорят, что уравнение F(x,y) = 0 определяет на (x0 - , x0 + ) неявную функцию y =yx = f(x). По определению

F(x, f(x))=0 x (x0 - , x0 + ).

Геометрический смысл. В окрестности точки M0 график функции y=f(x) представляет собой линию пересечения поверхности z=F(x,y) с координатной плоскостью z=0 (См. ch6_2_1_.swf).

Теорема 1. Пусть

  1. F(x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в окрестности U(M0) точки M0(x0,y0),

  2. F(M0)=0,

  3. .

Тогда существует окрестность (x0 - , x0 + ) и единственная функция, определенная в этой окрестности y = f(x), такая, что

x (x0 - , x0 + ) : F(x, f(x))=0 и y0 = f(x0).

Эта функция дифференцируема в точке x0 и ее производная определяется по формуле

.

Доказательство. Для определенности будем считать, что .Выберем квадрат B=[x0 - , x0 + ][y0 -  , y0 + ] содержащийся в U(M0) и такой, что в нем .

Тогда функция F(x0,y) строго возрастает на [y0 - ,y0 + ]. В центре этого отрезка функция равна нулю, поэтому F(x0, y0 - ) < 0 , F(x0, y0 + ) > 0. Функции F(x, y0 - ) , F(x, y0 + ) непрерывны по x и поэтому сохраняют знак в окрестности точки x0 , таким образом, существует <  x ( x0 - , x0 + ) : F(x, y0 - ) < 0 , F(x, y0 + ) > 0 . Тогда для ( x0 - , x0 + ) функция F(,y) имеет на [y0 -  , y0 + ] единственный ноль ,F(,) = 0 (промежуточное значение строго монотонной функции). Функция f : , действующая на( x0 - , x0 + ) является искомой. В силу единственности нуля f(x0) = y0. Построенная функция является функцией неявно заданной уравнением F(x,y)=0 в окрестности ( x0 - , x0 + ). Докажем дифференцируемость этой функции. В окрестности точки M0 справедливо равенство

F=.

Если в этом равенстве положить y=f=f(x) – f(x0), то

0=F=.

Откуда

. Переходя к пределу при M M0 получим требуемое равенство.

Замечание. При выполнении условий теоремы построенная функция будет принадлежать классу C1 в некоторой окрестности точки x0 . Действительно, условия теоремы будут выполнены, если в качестве точки (x0,y0) взять любую точку (x, f(x)), x( x0 - , x0 + ). Для таких точек будут выполнено равенство

,

где правая часть является непрерывной функцией.

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4