7.2. Декартова система координат в пространстве

Определение 19. Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных числовых осей, имеющие общее начало и совпадающее с точкой пересечения.

Оси, составляющие прямоугольную систему координат в пространстве называются координатными осями и обозначаются , и :

– ось абсцисс;

– ось ординат;

– ось аппликат.

Положение каждой точки пространства определяется тремя вещественными числами. Этими числами являются:

1) проекция точки на ось ; обозначают ;

2) проекция точки на ось ; обозначают .

3) проекция точки на ось ; обозначают .

Рис. 21

Определение 18. Упорядоченная тройка чисел называется прямоугольными (декартовыми) координатами точки пространства и обозначается .

Каждой точке пространства соответствует единственная упорядоченная тройка числе и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует единственная точка пространства .

Координатные оси , и делят пространства на восемь октантов. Каждая точка , не принадлежащая координатным осям, содержится в одной из восьми октантов. Обозначение этих октант и знаки координат точки:

На каждой из координатных осей выберем единичный вектор с началом в точке и концом в точке с координатой . Обозначим:

– единичный вектор оси ;

– единичный вектор оси ;

– единичный вектор оси .

Эти три единичных вектора называются ортами. Они образуют декартов ортогональный базис.

Рассмотрим вектор в пространстве. Отложим его из начала координат (рис. 22). Через его конец проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Получим прямоугольный параллелепипед, диагональю которого является вектор .

Рис. 22

Из рис. 22 ясно, что:

.

Векторы , и являются составляющими вектора . Представив составляющие с помощью произведения проекции на единичный вектор, получим

, , .

Обозначив

, , ,

будем иметь

.

Полученная формула называется разложением вектора на составляющие по координатным осям. Числа называются прямоугольными декартовыми координатами вектора . Координаты вектора будем записывать в виде

.

Вектор с началом в начале координат и концом в точке называется радиус-вектором точки . Координаты радиус-вектора совпадают с координатами точки :

или .

Пусть и – произвольные точки пространства. Координаты вектора вычисляются по формуле

или

.

Для получения координат вектора из координаты конца нужно вычитать соответствующие координаты начала.

Если известны координаты вектора, то линейные операции над векторами можно заменить соответствующими арифметическими операциями над координатами.

Пусть , . Тогда

;

;

.

Если векторы заданы в виде

, ,

то линейные операции выполняются так:

.

8. Длина вектора. Расстояние между двумя точками

8.1. Длина вектора

Пусть – произвольный вектор. Длина вектора вычисляется по формуле:

.

8.2. Расстояние между двумя точками

Пусть и – произвольные точки пространства. Расстояние между точками и вычисляется по формуле:

.

9. Направляющие косинусы вектора

Направление вектора в пространстве можно задать углами , и , которые составляет данный вектор с осями координат. Косинусы этих углов: , и называются направляющими косинусами вектора.

Рис. 23

Пусть – произвольный вектор. Согласно формуле проекции вектора на ось будем иметь

,

,

.

Отсюда получим значения направляющих косинусов:

или

,

,

.

Из полученных равенств вытекает следующее тождество

.

Полученное тождество означает, что среди углов , и независимыми являются только два, а третий определяется из тождества (с точностью до знака).