6.8.2. Параметрические и канонические уравнения прямой

Пусть дана точка M₀(x₀, y₀, z₀) прямая l и задан направляющий вектор (m, n, p) (вектор параллелен прямой l).

Рис. 6.4

Составим уравнение прямой l. Возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и проведём радиус-векторы = (x₀,y₀,z₀) и = (x,y,z). Вектор = - = - лежащий на прямой l, по условию коллинеарен вектору S, поэтому

(6.8.2.1)

где t - параметр. Равенство (6.8.2.1) перепишем иначе:

- = или = + (6.8.2.2)

Это векторное уравнение прямой.

Уравнение (6.8.2.2.) в проекциях:

x = x₀ + mt, y = y₀ + nt, z = z₀ + pt (6.8.2.3.)

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Если исключить параметр t из уравнения (6.8.2.3.), получим:

(x - x₀)/m = (y - y₀)/n = (z-z₀)/p (6.8.2.4)

Уравнения (6.8.2.4.) называется каноническими уравнениями прямой.

Уравнения (6.8.2.4.) умножим на и запишем их в таком виде:

(x - x₀)/m/s = (y - y₀)/n/s = (z - z₀)/p/s или (x - x₀)/cos = (y - y₀)/cos = (z - z₀)/cos,

где ,, - углы, образованные прямой с осями координат Ox, Oy, Oz. Величины cos, cos, cos называются направляющими косинусами прямой и вычисляются с помощью формул:

(6.8.2.5.)

Замечание. Прямая (6.8.2.4.) определяемая системой (x-x₀)/0 = (y-y₀)/0 = (z-z₀)/p параллельна оси Oz.