6.6. Пучок плоскостей

Пучком плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую. Уравнение пучка плоскостей имеет вид:

(A₁x + B₁y + C₁z + D₁) + (A₂x + B₂y + C₂z + D₂) = 0,

где  - действительный параметр.

Уравнением пучка плоскостей удобно пользоваться при решении многих задач аналитической геометрии.

Примеры:

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + y - z - 2 = 0 и 2x - 3y + z - 7 = 0 и через точку M₀(1; 3; -2).

Решение. Искомая плоскость принадлежит пучку x + y - z - 2 + (2x - 3y + z - 7) = 0

Параметр  находим из условия, что точка М₀ лежит на искомой плоскости:

1 + 3 - ( - 2) + (2*1-3*3 - 2 - 7)=0   = 1/4

Уравнение плоскости имеет вид: x + y - z - 2 + 1/4(2x - 3y + z - 7) = 0, после упрощений уравнение плоскости имеет вид: 6x + y - 3z - 15 = 0.

2. Найти уравнение плоскости, проходящий через линию пересечения плоскостей 2x + y - z = 0 и 2y + z - 2 = 0 и перпендикулярной к плоскости x + 3y + z = 0

Решение. Искомая плоскость принадлежит пучку 2x + y - z + (2y + z - 2) = 0

Используя условие перпендикулярности двух плоскостей (6.5.5), имеем:

A₁ = 2, B₁ = (1 + 2), C₁ = (-1 + )

A₂ = 1, B₂ = 3, C₂ = 1

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0  2 + 3(1 + 2) + ( - 1) = 0   = -4/7

Уравнение плоскости имеет вид: 14x - y - 11z + 8 = 0