1.2.2 Индийская тригонометрия

Индийская тригонометрия была вспомогательным разделом астрономии, как и древнегреческая, которая оказала на неё большое влияние. Наряду с этим индийские учёные испытали на себе также воздействие древневавилонских вычислительных методов. Однако их собственный вклад в развитие тригонометрии весьма велик.

Наиболее важен для истории индийской тригонометрии период IV - VII вв. именно в это время было написано несколько научных трактатов - сидцхант, преимущественно посвящённых астрономии, но включавших разделы, касающие тригонометрии. В сиддхантах отразилось эллинистическое влияние, о чем свидетельствуют, например, названия двух книг из них: «пулиса-сидцханта» и «Ромака-сиддханта». Первое связано с именем астронома Паулоса из Александрии, второе - с «ромеями», т.е. римлянами. Сведения об этих сиддхантах сообщает в своем сочинении об Индии великий среднеазиатский учёный - Абу Райхан Беруни (975 - 1048 гг.)

Как и другие научные книги индийцев, сочинение по астрономии написаны в стихотворной форме, а математические правила выражаются словесно, а причём доказательства обычно не приводятся.

Индийские астрономы существенно развили греческую тригонометрию хорд. Важнейшее значение дня истории математики имела замена хорды синусом. В вычислениях вместо хорды АВ, проведенной в круге с центром О и стягивающей центральный угол а (рис.4), стали пользоваться полухордой АС, введя таким образом линию синуса угла. Это нововведение фактически превратило учение о хордах в науку о тригонометрических величинах

рис.4 рис.5

Помимо линии синуса, в индийской тригонометрии фигурировали линия косинуса ОС и линия синуса-верзуса CD, которая представляет собой разность между радиусом и линией косинуса. Радиус круга считался произвольным. Поэтому значение синуса, которым пользовались индийцы, отличалась от современного: для угла б оно выражается как R sin б.

Теперь в четырёхугольнике ABCD сторона AD есть диаметр круга (рис.3), если известны хорды АВ и АС, то, как показано, будут известны также хорды дополнительных дуг, т.е. BD и CD. Тогда можно определить и хорду ВС, которая представляет собой хорду разности дуг BD и CD. Действительно,

Если положить яАОС = 2б, яАОВ = 2в, r =1, то ясно, что полученное выражение равносильно формуле

Далее Птолемей выражает хорду дуги, равной половине заданной дуги, и выводит соотношение, равносильное формуле

«Альмагест» стал прочной основой всех дальнейших исследований в области тригонометрии. Для популяризации его теории важное значение имели комментарии к «Альмагесту», составленные в IV в. до н. э. Паппом (ок. 320 г.) и Теоном Александрийским (ок. 380 г.).

Теон исследовал степень точности вычислительных методов Птолемея и получил ряд новых результатов. В частности, он доказал важную теорему плоской тригонометрии, которая позднее с пользой применялась восточными учёными. В ней утверждается, что приращения хорд у постоянно возрастающих дуг уменьшаются.

Таким образом, мы видим, что древнегреческими учёными были заложены основы плоской тригонометрии. Но в то время ей не придавали особого значения, так как для астрономии более важную роль, естественно, играла сферическая тригонометрия. Таблицы хорд и тригонометрические теоремы, из которых исходили при составлении этих таблиц, рассматривались лишь как вспомогательное средство для вычислений на сфере. Исторически всё складывалось так, что плоская тригонометрия в своём развитии шла вслед за сферической, которая тоже оформилась в самостоятельную дисциплину далеко не сразу.

Синус был введен уже в «Сурье-сиддханте». В сочинении «Ариабхатиа» одного из крупнейших астрономов и математиков Индии Ариабхатты (род. в 476 г.) дано определение синуса и приведена таблица 1 его значений.

Таблица 1

Замена хорды синусом произошла в связи с тем, что индийские астрономы широко применяли проективные методы, разработанные греками и описанные в «Аналемме» Птолемея. Это становится понятным из следующего рассуждения.

Пусть в первой четверти круга АОВ (рис.5) дуга разделена на равные части BС₁ = CС₁ = С₂С₃ и т.д. точки деления проектируются на радиус OA. Полученные отрезки OD₁, OD₂, OD₃ и т.д. являются полухордами удвоенных дуг BС₁, ВС2, ВСз и т.д. или синусами дуг BС₁, ВС₂, ВС₃ и т.д.

Прямоугольный треугольник в индийской тригонометрии не играл роли.

Подобно предшественникам, индийцы подразделяли окружность на 360 градусов, считая радиус произвольным. Дуга четверти круга делилась на 24 части, из которых каждая равна 3°45 или 225. Было установлено, что синус такой дуги по величине равняется радиусу. Поэтому радиус и тригонометрические линии в круге (линии синуса, синуса-верзуса и косинуса) выражали в частях окружности, сравнивая таким образом по величине дугу и прямолинейный отрезок. Это полностью противоречило греческой традиции: у Птолемея, как уже упоминалось, хорды выражались в долях диаметра, подразделенного на 12 частей.

Дуга в 225 носила название «кардаджа». Беруни пишет, что подразделение дуги четверти круга на 24 части встречается в «Полусе - сиддханты», и цитирует это сочинение: «Если кто-нибудь спросит о причине этого, то пусть он знает, что каждая из этих кардаджей - одна девяносто шестая часть круга, то есть 225 минут. А когда мы выводим его синус, то это тоже 225 минут» [3, с.42].

Ариабхатта, исходя из того, что 2рR = 360° = 21600 и принимая р = 3,1416, получил выражение для радиуса круга R = 3437,73872 или, приблизительно, R = 3438. Индийская таблица синусов (табл.1) строилась для 24 значений угла в первом квадранте через каждые 3°45. Для рассматриваемых дуг (они переводились а минуты) приводились значения R sin ц, затем первые разности ?¹ последовательных значений R sin ц, и вторые ?², в таблице фигурировал также синус-верзус дуги.

Правило составления этой таблицы равносильно формуле

,

где , а б=225.

По-видимому, была построена сама таблица, а затем из нее выведено указанное правило. Возможно, что, исходя из значения R и простых геометрических соображений, нашли синусы 30°, 60°, 45°, а затем, воспользовавшись известным правилом определения синуса половинной дуги, получили также синусы 22°30, 11°15, 15°, 7°30, 3°45. Далее по правилу нахождения синусов дополнений этих дуг, половин дополнений и т.д. можно было получить остальные табличные значения. На вопрос о том, каким образом составлялись и уточнялись индийские таблицы синусов, исследователи отвечают по-разному.