Анализ различных подходов к определению тригонометрических функций

дипломная работа

2.1.2 Синус, косинус, тангенс, котангенс

1. Синус и косинус.

Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.

Итак (см.рис. 13),

Если М(t) = M(x, y), то

x = cos t

y = sin t

отсюда сразу следует, что -1? sin t ? 1, -1? cos t ? 1.

Вернемся к предыдущему параграфу:

каждая точка числовой окружности имеет в системе ХОУ свои координаты, причем:

у точек первой четверти -- х > 0, у > 0;

у точек второй четверти -- х < 0, у > 0;

у точек третьей четверти -- х < 0, у < 0;

у точек четвертой четверти -- х > 0, у < 0

рис 13

Это позволяет нам составить соответствующую таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности:

Четверть

1-я

2-я

3-я

4-я

Sin t

+

+

-

-

Cos t

+

-

-

+

Мы отметили в предыдущем параграфе, что уравнение числовой окружности имеет вид х22 = 1.

Тем самым фактически получено важное равенство, связывающее sin t и cos t: sin2 t+cos2 t = 1

Было отмечено, как важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, опираясь на таблицы, которые составляются для координат точек, мы без труда составим соответствующие таблицы для вычисления значений cos t и sin t.

табл.1

t

0

р

Sin t

0

1

0

Cos t

1

0

-1

Опираясь на предыдущий параграф, увидим, что, например, решения уравнения sin t = 0 имеют вид t = рk.

Ординату 1 имеет точка В числовой окружности (рис. 13), она соответствует числу , а значит, и всем числам вида + 2 рk. Значит, решения уравнения sin t = 1 имеют вид t = + 2 рk.

Аналогично: cos t = 1, t = 2 рk; cos t = -1, t = р+ 2 рk.

Параметр k (или n) принимает любые целочисленные значения (k Z ), мы это постоянно подразумеваем, но, краткости ради, не записываем.

Завершая разговор о синусе и косинусе, остановимся на их свойствах.

Свойство 1. Для любого значения t справедливы равенства:

sin (-t) = - sin t

cos (-t) = cos t

Свойство 2. Для любого значения t справедливы равенства:

sin (t+ 2 рk) = sin t

cos (t+ 2 рk) = cos t

Свойство 3. Для любого значения t справедливы равенства:

sin (t+ р) = - sin t

cos (t+ р) = - cos t

2. Тангенс и котангенс.

Определение. Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают tg t. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают ctg t:

Говоря о tg t, подразумевают, что cos t ? 0, т.е. что t ? + рk , а говоря о ctg t, подразумевают, что sin t ?0, т.е. что t ? рk. Поэтому обычно определения tg t и ctg t записывают так:

Делись добром ;)