1.3.2 Тригонометрия в трудах европейских учёных

Обзор развития тригонометрии в Европейских странах, где в XVв., начался новый период истории этой науки, следует начать с трудов западно-арабских учёных, которые были посредниками в передаче достижений математиков и астрономов Ближнего и Среднего Востока на «Латинский» Запад. Их собственные результаты явились важным элементом научной традиции, которая легла в основу европейской тригонометрии в последующие века.

В X в. Маслама ибн Ахмад ал-Маджрити (ум. 1008 г.) и его современник Ахмад ибн ал-Мусанна ибн Абд-ал-Карим составили комментарии к зиджу ал-Хорезми. Первый из них, кроме того, был автором комментариев к зиджу ал-Батанни. Таким образом, благодаря трудам этих учёных в то время в Испании стали общедоступными сведения по тригонометрии, которыми располагали астрономы Ближнего и Среднего Востока.

В XI в. значительный вклад в тригонометрию сделал один из знаменитых астрономов своего времени Ибрахим ибн Йахйа ан-Наккаш ибн аз-Заркала, известный как аз-Заркали (ок. 1030 - 1099 гг.). Он прославился как знаток «Альмагеста» и критик теории Птолемея. Под руководством аз-Заркали был составлен коллективный труд - «Толеданский зидж», получивший впоследствии широкое распространение в латинских переводах. В нем содержатся, в частности, таблицы синусов при радиусе, равном 150, и описан индийский метод их вычисления; приведены также таблицы восхождений, вычисленные для различных широт по индийскому методу и методу Птолемея.

Для развития тригонометрии, как и других отраслей математики, в европейских странах решающее значение имела широко развернувшаяся в XII в. деятельность переводчиков научной литературы с арабского языка на латинский.

Прославленная школа переводчиков действовала между ИЗО и 1150 гг. в Толедо, отвоеванном в 1085 г. Испанцами; покровителем ее был великий канцлер Кастилии архиепископ Раймундо. Выдающимся представителем школы переводчиков был Герардо Кремонский (1114--1187 гг.), которому принадлежало свыше 70 переводов произведений античных и восточных авторов, в том числе ал-Хорезми, ал-Фаргани и др. в Толедо также работали Иоанн Севильский, Доминго Гонзалец (Доминико Гундисальви) и другие учёные, переводившие математические и астрономические сочинения.

Важную роль в распространении в Европе достижений восточных ученых сыграли видные переводчики XII в. Роберт из Честера и Герман из Каринтии (известным также под именем Германа Второго или Славянина), поддерживающие между собой тесную связь.

Среди первых астрономических сочинений, переведённых с арабского языка, были «Альмагест» и ряд зиджей, в основе которых лежали труд Птолемея и индийские сиддханты.

К числу первых зиджей, появившихся в латинском переводе, относится зидж ал-Хорезми. Он стал известен в XII в. в двух версиях - ал- Маджрити и Ибн Мусанны. Первую из них перевел Аделард из Бата, и этот перевод получил наибольшее распространение. Версия ал- Маджрити представляет собой переработку оригинала, причем, видимо, значительную. Современник ал-Маджрити писал: «Он занимался обработкой таблиц ал-Хорезми; он перевел его персидское летосчисление в арабское и определил средние положения планет для начала хиджры; он добавил к сочинению еще другие прекрасные таблицы, но точно ему следуя и не обращая внимания на ошибки в его труде». Таким образом, ясно, что не все таблицы в версии ал-Маджрити принадлежат ал-Хорезми, но какие именно, установить трудно.

Вторая версия зиджа ал-Хорезми, принадлежащая Ибн Мусанны, была переведена в XII в. с арабского языка дважды.в настоящее время оба перевода хорошо изучены. Ибн Мусанна по-иному, в сравнении с ал-Маджрити, изложил содержание зиджа ал-Хорезми, построив свое сочинение в форме вопросов и ответов. Он пытался с помощью правил Птолемея объяснить индийские астрономические методы, которые применялись в зидже, но не всегда успешно.

В 1983 г. Тригонометрические разделы обеих версий зиджа ал- Хорезми, оказавших столь большое влияние на развитие математики и астрономии в Европе, были опубликованы на русском языке в томе математических трактатов ал-Хорезми.

В XII веке были переведены и другие арабские сочинения в переводе Герардо Кремонского, в которых содержались сведения по тригонометрии. Позднее стали появляться труды европейских учёных, базировавшихся на арабской версии «Альмагеста», зиджах и переводах тригонометрических трактатов. Важное место среди них занимают «Альфонсинские таблицы», составленные на испанском языке в 1262--1272 гг. в Толедо под покровительством короля Кастилии Альфонсо X, прозванного Мудрым. Эта работа была выполнена группой христианских и еврейских учёных. «Альфонсинские таблицы», носивший чисто компилятивный характер, в значительной мере основывались на зидже аз-Заркале. Вплоть до XVIb. они служили главным источником астрономических познаний и основой всех вычислений, связанных с астрономией. Помимо географических и хронологических таблиц, таблиц видимых движений Солнца, Луны и планет т.п., сочинение содержало тригонометрический раздел, включавший таблицы синусов и тангенсов; последние были составлены для гномона, равного 12 «пальцам».

С XIII в. в разных концах Европы начинают появляться самостоятельные сочинения по математике и астрономии, в которых значительное место занимало изложение начал тригонометрии и приводились тригонометрические таблицы. К ним относятся «Практика геометрии» выдающегося ученого XIII в. Леонардо Пизанского (ок. 1170 - 1250 гг.), труды Джованни Кампано (XIII в.), Жана Линерииса (ок. 1322 г.), Николая Кузанского (конец XIV в.) и др. в этих трудах обобщались сведения по тригонометрии, полученные из арабских источников, разъяснялись правила пользования тригонометрическими таблицами.

Чаще всего приводились таблицы синусов и вскоре были сделаны попытки уточнить их. Но уже Дж. Кампано составил таблицу тангенсов (Tabula foecunda) для значений аргумента от 0 до 45° через 1°.

В XIV в. тригонометрия постепенно стала учебным предметом, заняв прочное место среди университетских курсов. Так, а Парижском университете лекции по тригонометрии читал Жан Линериис, который вычислил таблицы синусов через - приняв диаметр круга за 120, и излагал элементы сферической тригонометрии. Работавший там же Жан де Мер составил таблицы синусов, основываясь на зидже аз-Заркали.

Особое внимание привлекла тригонометрия в Венском университете, сыгравшем важную роль в развитии математики в Европе. Здесь работал Иоганн из Гмундена (ок. 1380 - 1442 гг.), который прославился своими лекциями. Его «Трактат о синусах, хордах и дугах», написанный в 1437 г.,- это хороший учебник по тригонометрии для своего времени, в котором разъясняются методы вычисления таблиц синусов по аз-Заркали и Птолемею. Сочинение дало толчок к составлению новых, более точных тригонометрических таблиц.

Первым завершенным курсом тригонометрии явилось сочинение Региомонтана «О видах треугольников пять книг». Трактат состоит из пяти книг. В 1 определены основные математические понятия и доказаны 57 предложений о тригонометрических функциях (синусе и косинусе), о плоских треугольниках и их решении с применением синуса. В частности, решается задача о нахождении углов треугольника по трем сторонам. Косоугольные треугольнике Региомонтан решает, сведя их к прямоугольным. Книга 2, в которой излагается общая теория треугольников, начинается с доказательства плоской теоремы синусов, используемой при доказательстве других теорем. Книги 3-5 посвящены сферической геометрии.

Дальнейшая история плоской и сферической тригонометрии в XVI - XVII вв. связана с именами Франческо Мавролико, Христофа Клавия, Франсуа Виета, Адриана ванн Роумена, Бартоломея Питиска и др.