18. Методика изучения тригонометрических функций в школьном курсе алгебры и начал анализа

Тригонометрические функции являются первыми трансцендентными функциями, изучаемыми в школьном курсе математики.

• В природе существуют такие процессы, которые не поддаются описанию с помощью алгебраических функций, но с достаточной точностью характеризуются трансцендентными функциями.

Их роль и место в нем определяются главным образом двумя сторонами применения этих функций в теории и практике.

Во-первых, тригонометрические функции дают замечательный вычислительный аппарат для решения разнообразнейших задач планиметрии и стереометрии.

Во-вторых, учение тригонометрических функций позволяет весьма наглядно, просто и убедительно продемонстрировать важнейшие свойства функций: периодичность, четность и нечетность, ограниченность, монотонность.

Основная цель – изучить свойства и графики тригонометрических функций.

Изучение тригонометрических функций у Н.Я. Виленкина, А.Г. Мордковича и С.М.Никольского начинается в 10 классе. А у А.Н. Колмогорова и Ш.А. Алимова изучение начинается в 11 классе.

Почасовая раскладка:

Учебник	А	Б	В
Ш.А. Алимов	10	14	19
А.Н. Колмогоров	18	19	23
С.М.Никольский	15	18	21
А.Г. Мордкович	28

В 6 классе функция имеет наглядную геометрическую интерпретацию, т.е задается таблично. В 9 классе в учебниках Ш.А. Алимова и Н.Я. Виленкина дается только определение sin,cos, tg, ctg, углов и. В 10 классе у Н.Я. Виленкина и Ш.А. Алимова даются только свойства тригонометрических функций.

Сведения о понятия табличных значений накопленные до 8 класса, недостаточны для строгого определения тригонометрических функций и описания их свойств. Поэтому к тригонометрическим функциям, изучаемым в 8 классе на индуктивной и наглядной основе приходится возвращаться в 10, 11 классах, с тем чтобы завершить логически удовлетворительное изложение материала.

В курсе алгебры и начал анализа осуществляется последний, заключительный этап изучения тригонометрических функций. В него входят:

• Закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот.

• Формирование представлений об углах с градусной мерой, большей 360; формирование представлений об углах с положительной и отрицательной градусными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа).

• Описание тригонометрических функций на языке радианной меры угла.

• Утверждение функциональной точки зрения на косинус альфа, синус альфа и тангенс альфа (трактовка косинус альфа, синус альфа и тангенс альфа как функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства).

• Повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом к которым является тождество-формула косинуса суммы двух аргументов.

• Применение тригонометрических тождеств в тождественных преобразованиях и при решении задач по стереометрии.

Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова:

• Вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника.

• Затем введенные понятия обобщаются для углов от 0 до 180.

• Тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

Возможные пути введения тригонометрических функций в школе:

• Аналитический. Представляются два варианта. Один из них рассматривается в 10 классе и сводится к анализу дифференциальных уравнений. Ее используют на кружковых занятиях. Второй вариант аналитического введения тригонометрической функции - использование аппарата рядов. Но такой подход для средней школы представляется мало реальным.

• Более привычным для школы представляется второй путь - геометрический. Имеется большое число разновидностей этого пути. Самой наглядной и простой является введение тригонометрических функций путем рассмотрения отношений сторон в прямоугольном треугольнике. Затруднения возникают при переходе к углам, большим прямого и при переходе к тригонометрическим функциям числового аргумента. Попытки преодоления привели единым по сути подходам - через так называемые тригонометрические линии в круге, через отношение координат радиус-вектор, через проекции единичного вектора. Для уровня развития методики преподавания математики наиболее удачным представляется первоначальное определение синуса и косинуса как координат точек окружности. В этом случае формальное определение отпадает, так как оказывается, что синус и косинус есть просто новые названия ординаты и абсциссы точки P(альфа) единичной окружности. Сама точка P(альфа) является отображением точки P(0) с координатами (1;0) при повороте плоскости на угол альфа вокруг начала координат. Такое определение дает естественный путь к введению формул для вычисления координат вектора и отсюда к решению разнообразных задач.

Более подробно остановимся на первом этапе изучения тригонометрических функций.

В учебниках Н.Я Виленкина (9классе) и А.Н.Колмогорова (11классе) косинус, синус и тангенс определяется не для произвольного острого угла, а для "острого угла прямоугольного треугольника". Например, косинус острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Приведем некоторые методические рекомендации:

• Конкретизируйте рассмотренное выше определение косинуса альфа, придерживаясь следующей методической схемы:

1. Построить на миллиметровой бумаге прямоугольный треугольник АВС.

2. Обозначить величину острого угла А буквой альфа.

3. Измерить (по клеткам) прилежащий катет АС и гипотенузу АВ.

4. Вычислить отношение АС/АВ.

5. Записать значение косинуса альфа (для альфа не указывается его конкретное значение).

6. Измерить транспортиром угол альфа, найти его величину и записать значение косинус этого угла данного прямоугольного треугольника.

7. Проделать с 1-6 для острых углов других прямоугольных треугольников.

• Объясните учащимся необходимость изучения нового для них понятия косинус альфа. При закреплении определения косинуса альфа возможны такие варианты: 1) учитель ставит перед ними задание: "сформулируйте определение косинуса альфа"; 2) учитель вместо этого задания другое: "как найти косинус альфа, пользуясь его определением?"

• Определенные трудности в изучении элементов тригонометрии порождает следующая теорема: "косинус альфа зависит только от градусной меры угла". Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а тоько от меры угла.

• Как определяется синус, тангенс острого угла альфа? Как доказывается их зависимостьтолько от величины угла альфа?

• Приготовьте таблицу "Формулы для решения прямоугольного треугольника"

• Составьте схему решения прямоугольных треугольников, предусматривающую применение в вычислениях микрокалькулятора.

• При решении прямоугольных треугольников необходимо обратить внимание учащихся на тот факт, что каждой из формул для косинус альфа, синус альфа и тангенс альфа связываются еще две формулы:

cos альфа=АС/АВ, АС=АВcos альфа, АВ=АС/cos альфа

sin альфа=ВС/АВ, ВС=АВsin альфа, АВ=ВС/sin альфа

tg альфа=ВС/АС, ВС=АСtg альфа, АС=ВС/tg альфа

• Разработайте опорный конспект для доказательства тригонометрических тождеств.

• Назовите основные виды задач на решение прямоугольного треугольника.

Основные тригонометрические функции: y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x.

• Функция y=sin x и ее свойства:

1) область определения - R;

2) множество значений [-1;1];

3) функция нечетная, так как sin (-x)= - sin x и область определения симметрична относительно нуля.

4) функция периодическая с наименьшим периодом 2п. Поэтому для построения графикаэтой функции построить кривую на отрезке [-п;п] и продолжить ее влево и вправо с периодом 2п.

5) нули функции: х=пк, к принадлежит Z;

Графиком является кривая, называемая синусоидой.

• Функция y=cos x и ее свойства:

1) область определения - R;

2) множество значений [-1;1];

3) функция является четной;

4) функция периодическая с наименьшим периодом 2п;

5) нули функции: х=(п/2)+пк, к принадлежит Z;

Графиком является кривая, называемая косинусоидой.

• Функция y=tg x и ее свойства:

1) область определения функции х не равно (п/2)+пк, к принадлежит Z;

2) множество значений - R;

3) нули функции : х=пк, к принадлежит Z;

Графиком является кривая, называемая тангенсоидой.

• Функция y=сtg x и ее свойства:

1) область определения функции х не равно пк, к принадлежит Z;

2) множество значений - R;

3) функция нечетная;

4) функция периодическая с наименьшим положительным периодом п;

5) нули функции: х=(п/2)+пк, к принадлежит Z;

Графиком является кривая, называемая котангенсоидой.