1.2.1 Греческая тригонометрия

В древней Греции тригонометрия, как часть астрономии, достигла значительного развития.

Древнегреческие ученые впервые поставили перед собой задачу решения прямоугольного треугольника, то есть определения его элементов по трем данным элементам, из которых хотя бы один - сторона треугольника. Для решения этой задачи вначале составляли таблицы длин хорд, соответствующих разным центральным углам круга постоянного радиуса. Первые тригонометрические таблицы хорд были составлены астрономом - математиком Гиппархом из Никеи (II век до н. э). Эта таблица явилась основным элементом античной плоской тригонометрии.

(рис.1)

Рассматривалась только одна тригонометрическая функция - хорда круга, стягивающая некоторый центральный угол. По существу современная таблица синусов эквивалентна таблице хорд двойных углов, так как очевидно, что в круге радиуса г для хорды, стягивающей дугу центрального угла а, справедливо равенство: хорда а = 2r sin .

Диаметр круга принимался равным 120 (рис.1). Тогда из прямоугольного треугольника ОВС легко получали соотношения:

с² = а² + b²

b = (180° - 2б)

Применять на практике тригонометрию хорд было значительно труднее, чем современную. Позднее математики Индии и среднего Востока устранили эту трудность, введя знакомые нам тригонометрические функции - синус и косинус.

Гиппарх был основоположником математической географии, а кроме того, составил звёздный каталог, довольно точно определил расстояние от Земли до Луны и ввёл географические координаты - широту и долготу. Сочинения Гиппарха до нас не дошли. Но многие из них вошли в «Альмагест» (ІІ в.) - знаменитое сочинение древнегреческого астронома Клавдия Птолемея. Альмагест - классическое сочинение, в котором изложена античная теория движения небесных тел, геоцентрическая система мира.

Птолемей дал полное изложение греческой тригонометрии в своем труде. Он привел таблицу хорд, которая, по мнению большинства исследователей, совпадает с таблицей Гиппарха. Однако, заслуга составления этих таблиц принадлежит исключительно Птолемею. Он основывает астрономическую теорию на учении об отношениях хорд в круге. Он подразделяет окружность на 360 равных частей, а ее диаметр d - на 120. тогда радиус г равен 60 частям, каждая из которых делится на 60 минут, каждая минута - на 60 секунд, каждая секунда - на 60 терций и т.д. Это позволяет пользоваться при вычислениях шестидесятиричными дробями.

Птолемея интересуют численные значения хорд различных углов. Он получает эти значения, опираясь на доказанные им геометрические предложения, которые отсутствуют в «Началах» Евклида (ок. 300 г. до н.э). Они позволяют вычислить стороны правильных вписанных многоугольников с 3,4, 5, 6 и 10 сторонами, а отсюда найти хорды дуг 120°, 90°, 72°, 60°, 30°, 36°. Так как хорда

60° = 60, хорда 90° = 84р 51 10", хорда 120° = 108р 55 23", хорда 180° = 120р. Далее выводится соотношение (хорда а)² + [хорда (180° - а)]² = d², равносильное формуле sin² а + cos² а = 1.

Следующее соотношение равносильно формуле для синуса разности двух углов. Вывод его основан на лемме, получившей позднее название теоремы Птолемея. Пусть в круг вписан четырёхугольник ABCD (рис.2).

Согласно лемме, площадь прямоугольника, образованного диагоналями АС и BD, равна сумме площадей прямоугольников, образованных противоположными сторонами данного четырёхугольника, т.е. AC·BD = AB?CD + AD·BC.