1.4 Развитие тригонометрии в работах европейских учёных XVIII-XIX веков

Зидж ал-Хорезми в версии ал-Маджрити и в латинском переводе Аделарда из Бата послужил одним из краеугольных камней европейской астрономии в средние века. Известны четыре его рукописи, которые привлекли внимание историков науки в середине XIX в. На основе их изучения А. Бьёрнбо и Р. Бестгорном был подготовлен к печати текст сочинения, который в 1914 г. Издал Г. Зутер со своими комментариями.

А.Бьёрнбо изучил тригонометрические таблицы ал-Хорезми и впервые показал их роль в истории тригонометрии. Он рассмотрел описанные ал-Хорезми правила определения синуса по дуге и обратно с помощью таблицы синусов и указал, что это - первая таблица такого рода в арабоязычной литературе; в качестве угловой еденицы здесь служил «знак Зодиака», равный окружности круга, т.е., а значение синусов даны в частях радиуса, который принят равный 60, и выражены в шестидесятиричных дробях. Особое внимание А.Бьёрнбо уделил правилам нахождения «обращённого синуса», а также методом определения «прямой тени» (т.е. котангенса) некоторого тела по высоте Солнца, высоты Солнца по тени, отбрасываемой телом, и «обращённой тени» (т.е. тангенса) по высоте Солнца. Исследователь пришёл к выводу, что значение для таблицы синусов были взяты у Птолемея, и что, возможно, в оригинале имелось также таблица арксинусов. Что касается таблицы тангенсов, то он отметил, что, они также являются первыми в литературе на арабском языке.

До сих пор тригонометрия формировалась и развивалась под определяющим влиянием астрономии. Положение в этом смысле мало изменилось даже тогда, когда самостоятельное существование тригонометрии стало общепризнанным фактом. Новое обогащение содержания тригонометрии происходило как часть истории математического анализа. И когда после первых ошеломляющих открытий понадобилось привести в систему математический анализ, пришлось сделать то же и с тригонометрическими функциями. Эта работа, её результаты нашли своё отчётливое выражение в трудах Л.Эйлера. Теорию тригонометрических функций Эйлер изложил в 8-й главе 1-го тома своей книги « Введение в анализ бесконечных» (1748г., на русском языке изданного 1961г.). Тем самым он завершил более или менее успешные попытки своих ближайших предшественников.

Эйлер ввёл близкую к привычной нам символику, полностью разъяснил вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента. Эти функции он рассматривал как безразмерные числа, называя их общим термином «трансцендентные количества, получающиеся из круга».

Ход рассуждения Эйлера был примерно таков.

1. С помощью формул приведения для sin (k+z) и cos (к +z) при целых k выясняется вопрос о знаках тригонометрических функций любых дуг.

2. На основе теорем о синусах и косинусах суммы и разности аргументов выводится формула Муавра дня натурального показателя степени (cos z ± i sin z)ⁿ = cos nz ± i sin nz.

3. Из этой формулы выводятся следующие:

4.

;

;

а далее формулы

4. Полагая в полученных таким образом формулах n бесконечно большим, z бесконечно малым, налагая условие, что nz = v, т.е. конечное, а также что в этих предположениях cos z = 1, sin z = z = , Эйлер получает разложения:

Тем самым был сделан важный шаг. Дело в том, что предшественники Эйлера неизменно связывали понимания тригонометрических функций с образами линий в круге некоторого радиуса, называя его «полным синусом». Теперь же тригонометрические функции составили просто некоторый класс аналитических функций как действительных, так и комплексных аргументов, что было проделано с характерной для того времени смелостью и оправдывалось на первых порах только правильностью и полезностью достигаемых при этом результатов.

Вскоре, в 1770г., появилось и удержавшееся до наших дней название тригонометрические функции. Его ввёл Г.С. Клюгель (1739 - 1812 гг.) в работе «Аналитическая тригонометрия» (1770 г.).

В то же примерно время (т.е. во второй половине XVIIIв.). Построение общей системы тригонометрических и примыкающих к ним знаний развивалось и несколько в ином направлении. И.Г.Ламберт (1728 - 1777гг.) в «Очерках об употреблении математики и её приложений» (1770г.). Провёл обобщение тригонометрии на четырёхугольнике, создав таким образом тетрогонометрию. Ещё через несколько лет, в 1774 - 1776гг., в работах А.И.Лекселя (1741 - 1784гг.). Было произведено дальнейшее обобщение и построено полигонометрия. Рассматривая n-угольник со сторонами а_ь а₂,...,а_п и углами ц_ь ц₂,..., ц_п между продолжениями сторон и предыдущими сторонами, Лексель получил соотношения

Суммы в левых частях приведённых равенств эквиваленты суммам векторов, направленных по сторонам многоугольников. Из этих формул, справедливых и не для невыпуклых, и для самопересекающихся многоугольников, в работах Лекселя выведены основные формулы тригонометрии и тетрагонометрии. Затем он распространил теорию на 5, 6, 7, - угольники и решил ряд задач на исследование п - угольников, исходя из заданных диагоналей и углов этих диагоналей со сторонами.

Результаты Лекселя были существенно дополнены С. Люилье (1750 - 1840гг.) в книге «Полигонометрия, или об измерении прямолинейных фигур (1789г.) ». Основную роль в исследования Люилье играла выражение для площади многоугольника, которую он вычислял так: откинув одну из n сторон, он составил все парные произведения остальных n - 1 сторон на синусы углов между этими сторонами и, складывая полученные произведений, нашёл удвоенную площадь многоугольника. Исходя из формулы, Люилье получил все формулы полигонометрии, в том числе и формулы Лекселя.

Наконец, Люилье обобщил и эти результаты на пространственные случаи и, развивая работы Эйлера о многогранниках, создал в (1799 - 1805 гг.) полиэдрометрию - учение об измерении многогранников (полиэдров), описав её в работе «теоремы полиэдрометрии». Основной теоремой является следующая: «Площадь каждой грани многогранника равна сумме произведений площадей остальных граней на косинусы углов, образуемых ими с этой гранью».

Таким образом, к XIX веку тригонометрия приобрела разнообразные интерпретации, не теряя своей теоретической целостности, а наращивая её.