2.1.1 Понятие числовой окружности на координатной плоскости

В 5 главе учебника автор, вводя элементы теории тригонометрических функций, говорит, что «для введения тригонометрических функций нам понадобится новая математическая модель -- числовая окружность, с которой вы до сих пор не встречались». Для этого он вспоминает понятие числовой прямой, рассматривает некоторые примеры, связанные с ней, и говорит: «…в реальной жизни двигаться приходится не только по прямой. Довольно часто рассматривается движение по окружности. Вот конкретный пример. Будем считать беговую дорожку стадиона окружностью… в математике условились использовать для этой цели единичную окружность -- окружность с радиусом 1. Это будет наша беговая дорожка». Таким образом, автор подводит учеников к понятию Числовая окружность.

Для начала автор предусмотрительно объясняет:

рис 8

Длина L окружности с радиусом R вычисляется по формуле

L = 2рR,

где р ~ 3,14.

Если R = 1, то L = 2р ~ 6,28.

Длина половины окружности равна р, а длина четверти окружности -- АВ, ВС, CD, DA на рис. --равна .

Условимся называть дугу АВ первой четвертью единичной окружности, дугу ВС -- второй четвертью, дугу CD -- третьей четвертью, дугу DA -- четвертой четвертью.

При этом обычно речь идет об открытой дуге, т.е. о дуге без ее концов (что-то вроде интервала на числовой прямой).

Определение: Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка А - правый конец горизонтального диаметра (рис.8). Поставим в соответствие каждому действительному числу t точку окружности по следующему правилу:

1) если t > 0, то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной t; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = M(t);

2) если t < 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной |t|; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = M(t);

3) числу t = 0 поставим в соответствие точку А: А = А(0).

Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой окружностью.

Затем автор показывает положение точек на окружности:

77

77

рис 9 рис 10

И объясняет причину такого расположения: «…длина единичной окружности равна 2р, и если мы окружность или ее четверть делим на равные части, то получаются дуги, длины которых выражаются долями числа р.»

Для понимания учащимися понятия числа на окружности не , а, например, числа 1, автор дает легкое и понятное объяснение: «… можно ли найти на единичной окружности такую точку, что длина дуги будет равна 1? Давайте прикинем:

р = 3,14; , ,

Таким образом,…»

Далее автор разъясняет основные фундаментальные понятия этой темы:

Итак, на числовой окружности, как и на числовой прямой, каждому действительному числу соответствует одна точка (только, разумеется, на прямой ее найти легче, чем на окружности).

Но для прямой верно и обратное: каждая точка соответствует единственному числу.

Для числовой окружности такое утверждение неверно, выше мы неоднократно убеждались в этом.

Для числовой окружности справедливо следующее утверждение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то она соответствует и числу вида t + 2рk, где k -- любое целое число (k ? Z). В самом деле, 2р -- длина числовой (единичной) окружности, а целое число |k| можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или другую сторону. Если, например, k = 3, то это значит, что мы делаем три обхода окружности в положительном направлении; если k = -7, то это значит, что мы делаем семь (| k | = | -7| = 7) обходов окружности в отрицательном направлении. Но если мы находимся в точке M(t), то, выполнив еще | k | полных обходов окружности, мы снова окажемся в точке М.

Итак,

M(t)= M(T+2рk)

Перейдем непосредственно к понятию числовой окружности на координатной плоскости, представленную в данном учебнике.

Расположим числовую окружность в декартовой прямоугольной системе координат ХОУ так, как показано на рис. 11:

рис 11

центр окружности совмещен с началом координат, радиус окружности принимается за масштабный отрезок.

Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой (1; 0) на оси х. При этом В = В(0; 1), С = С(-1; 0), D = D(0; -1).

Каждая точка числовой окружности имеет в системе ХОУ свои координаты, причем:

у точек первой четверти -- х > 0, у > 0;

у точек второй четверти -- х < 0, у > 0;

у точек третьей четверти -- х < 0, у < 0;

у точек четвертой четверти -- х > 0, у < 0

Для любой точки М(х; у) числовой окружности выполняются неравенства:

-1? х ? 1, -1? у ? 1.

Нетрудно составить уравнение числовой окружности. Для этого заметим, во-первых, что центром окружности служит начало координат, а уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х² + у² = R². Заметим, во-вторых, что R = 1; значит, уравнение числовой окружности имеет вид

рис 12

х²+у² = 1.

Точка М₁-- середина первой четверти.

Опустим из точки М₁ перпендикуляр М₁Р на прямую ОА и рассмотрим ?ОМ₁Р (рис. 12).

Так как дуга АМ₁ составляет половину дуги АВ, то АOМ₁ = 45°. Значит, ОМ₁P -- равнобедренный прямоугольный треугольник; его катеты ОР и М₁Р равны, т.е. у точки М₁ абсцисса и ордината равны: х = у.

Кроме того, координаты точки М₁(х; у) удовлетворяют уравнению окружности х² + у² = 1.

Таким образом, для отыскания координат точки М₁ нужно решить систему уравнений:

Подставив х вместо у во второе уравнение системы, получим:

х² + x² = 1, т.е. 2х² = 1, х² = , х = = ,

(мы учли, что абсцисса точки М₁ положительна). А так как у = х, то и у = .

Итак, М₁ = М₁

Для остальных ключевых точек так же выводятся свои координаты, а результат записывается в таблицу.