5. Методические рекомендации преподавателю

Наиболее рациональным по курсу алгебры являются проблемные лекции и лекции-диалоги.

Большая часть лекционных занятий по данному курсу имеет проблемный характер, обращена к логическому мышлению студентов, поэтому необходимо стремиться к тому, чтобы слушатели активно воспринимали информацию, участвовали в поиске решения задач лекции. Главная цель курса «Алгебра» - помочь студентам изучить основные виды алгебр и воспитать общую алгебраическую культуру, без которой немыслим современный учитель математики.

В теме «Группы и кольца» понятия группы и кольца введено в курсе алгебры в первом семестре как множества с алгебраическими операциями. На основе сведений, известных из школьного курса математики, нужно установить, что натуральные числа относительно арифметических операций сложения и умножения образуют полукольцо. На первом курсе даются начальные сведения о группах, кольцах и полях. Необходимо в качестве примера поля рассмотреть конечное поле, для чего в курсе «Избранные вопросы алгебры и геометрии» рассматривается отношение сравнимости целых чисел по модулю. Это дает возможность рассмотреть поле классов вычетов по простому модулю как пример конечного поля. Знакомство с числами, их свойствами, с операциями над ними у студентов состоялось еще во время обучения в средней школе. Но знакомство это было весьма поверхностным. В педвузовском курсе алгебры работа с числами как элементами различных алгебраических систем, изучение делимости должно осуществить связное, цельное и, в известной степени, законченное построение определенной математической системы. Тщательное систематическое изучение чисел – одна из основных задач обучения математике в высшем учебном заведении, которое будет продолжено в курсе «Теория чисел». Запас продуманных примеров, алгоритмов и, конечно, основных алгебраических понятий составляет фундамент подготовки будущего специалиста. Особое внимание следует уделить рассмотрению таких вопросов, как строение конечных абелевых групп и конечных полей, разложимость групп, изоморфизм циклических групп, строение фактор-группы и факторкольца по максимальному идеалу, алгебраическое расширение поля с помощью факторкольца.

Отметим, что основные понятия в 3-м и 4-м семестрах необходимо вводить постепенно с обсуждением как дальнейших их приложений, так и достаточно большого числа элементарных примеров, в качестве материала для последних должны широко привлекаться числа основных числовых множеств, известных студентам из школьного курса математики.

Материал курса имеет непосредственное отношение к математике средней школы. Второй и третий разделы тесно связаны со школьной программой по математике, а первый может являться основой для школьных элективных курсов.

На практических занятиях необходимо рассматривать методы решения алгебраических задач (математической индукции и другие). Курс алгебры должен органически сочетать в себе методы дедуктивной математической теории и экспериментальную часть-практику решения задач, мотивирующую как появление, так и силу алгебраических методов.

Система преподавания данного курса – модульно-рейтинговая, что предполагает оценивание работы студентов по контрольным показателям внутри каждого модуля, а это дает возможность получить оценку работы студента по всем модулям и, следовательно, итоговую отметку. Оценки за все виды модульных отчетностей следует вносить в электронный журнал успеваемости группы по курсу алгебры.