logo
УМКД алгебра, 2курс

Группы и подгруппы

  1. Группы.

  2. Группа подстановок.

  3. Подгруппы.

  4. Циклические группы.

  5. Разложение группы на подгруппы.

  1. Группы

Алгебраическую операцию, определенную в группе, называют умножением или сложением. Группу относительно операции умножения называют мультипликативной, а относительно операции сложения – аддитивной.

Условимся, как это принято в общей теории групп, рассматривать дальше в основном мультипликативные группы.

Пусть G – непустое множество, в котором определена операция умножения.

Определение 1. Непустое множество G, в котором определена операция умножения, называется группой, если выполняются следующие условия:

  1. Операция умножения ассоциативна.

  2. В множестве G существует единичный элемент.

  3. Для каждого элемента в множестве G существует обратный элемент а-1.

Если операция умножения, определена в группе, коммутативна, то группа G называется коммутативной или абелевой.

Группа G называется конечной, если множество ее элементов конечно; она называется бесконечной, если множество ее элементов бесконечно. Число элементов группы называют порядком группы.

Из определения группы вытекают следующие следствия.

  1. В каждой мультипликативной группе можно выполнять левосторонние и правосторонние сокращения: если ав1=ав2 или в1а=ва, то в1=в2.

  2. Какие бы ни были целые числа m и n, для которого элемента а мультипликативной группы G справедливы равенства

  1. Для операции умножения в множестве G выполняется обратная операция – деление, т.е. для любых элементов множества G каждое из уравнений ах=b и ya=b имеет в множестве G решение и притом только одно.

  2. Единичный элемент е мультипликативной группы G единственный.

  3. В каждой мультипликативной группе G для любого ее элемента а существует единственный обратный ему элемент а-1, т.е. такой, что

Примерами мультипликативной группы являются множество всех положительных рациональных чисел, всех отличных от нуля рациональных чисел, множество всех положительных действительных чисел, всех отличных от нуля действительных чисел, множество всех отличных от нуля комплексных чисел. Все эти группы – бесконечные, абелевы. Примером мультипликативной бесконечной некоммутативной группы является множество невырожденных матриц n-го порядка над полем комплексных чисел С. Множество всех комплексных корней n-й степени из 1 является мультипликативной абелевой группой порядка n.

  1.