6. Примеры геометрических задач, сводящихся к уравнениям, неразрешимым в квадратных радикалах

Поставим вопрос о возможности того или иного геометрического построения с помощью циркуля и линейки. Такой вопрос относится скорее к алгебре многочленов, нежели к геометрии. Впервые это понял, наверное, Гаусс. В 1801 году в работе «Арифметические исследования» он установил связь между построением правильного

n – угольника и решением уравнения в поле комплексных чисел. Он показал, что если , то n-угольник построить можно.

Например, можно с помощью циркуля и линейки построить правильный

5-угольник, так как ;

17-угольник, так как .

В геометрии показывается, что корни уравнения с рациональными коэффициентами могут быть построены с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда это уравнение разрешимо в радикалах, то есть когда решение этого уравнения сводится к решению цепочки квадратных уравнений. Покажем, как доказывается неразрешимость некоторых классических задач на построение циркулем и линейкой.