1. Алгебраические числа.

Определение 1. Число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо многочлена с рациональными коэффициентами.

Очевидно, что всякое рациональное число r является алгебраическим, ибо его можно рассматривать как корень многочлена f(х) = х - r с рациональными коэффициентами. Иррациональные числа тоже могут быть алгебраическими. Например, числа , алгебраические, т.к. они являются корнями многочленов х² - 2 и х³ - 5 (соответственно) над полем Q. Однако не все иррациональные числа алгебраические. Существует бесконечное множество иррациональных чисел, не являющихся корнями ни одного многочлена над полем Q. Такие числа называются трансцендентными. Примерами трансцендентных чисел могут быть числа π, lg 3, 2 и так далее.

Понятие алгебраического и трансцендентного числа нами введены при рассмотрении многочлена над полем Q. Эти понятия естественным образом обобщаются при рассмотрении многочленов над произвольным числовым полем.

Определение 2. Число α называется алгебраическим относительно числового поля Р (или над полем Р), если оно является корнем некоторого многочлена над полем Р. Число, не являющееся алгебраическим относительно поля Р, называется трансцендентными относительно поля Р.

Так как поле рациональных чисел Q является подполем любого числового поля Р, то числа, алгебраические относительно поля Q, являются и алгебраическими относительно любого поля Р. Пусть α - корень многочлена степени n над полем Р вида:

f(х) = х + а х +... + а х + х (1)

Этот многочлен нормированный, ибо его старший коэффициент равен 1. Будем считать его также неприводимым над полем Р. Пусть, кроме того, g(х) - любой другой многочлен над полем Р, корнем которого является число . Очевидно, что многочлены f(х) и g(х) не могут быть взаимно простыми, т. к. имеют общий множитель х - . С другой стороны многочлен f(х) неприводимый над полем Р. Поэтому многочлен g(х) делится на многочлен f(х) и, значит, имеет степень не ниже, чем n. В частности, если g(х) тоже неприводимый многочлен, то он совпадает с f(х) с точностью до постоянного множителя. Поэтому нормированный многочлен f(x) - единственный неприводимый многочлен над полем Р, который имеет своим корнем , а его степень n - самая меньшая среди степеней всех многочленов с корнем .

Определение 3. Нормированный многочлен f(х), неприводимый над полем Р, который имеет своим корнем, называется минимальным многочленом числа , а его степень n - степенью алгебраического числа относительно поля Р.

Если - число первой степени относительно поля Р, то Р. При n >1 из неприводимости f(х) вытекает, что Р. Действительно, если бы Р , то делимость многочлена f(х) на линейный двучлен х - а означала бы, что f(х) приводимый над Р.