logo
УМКД алгебра, 2курс

Понятие разрешимости в квадратных радикалах

Не каждое алгебраическое уравнение можно решить в радикалах, т.е. выразить все его корни через коэффициенты с помощью конечной последовательности действий сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня с целым показателем степени. В частности, уравнение n-ой степени с произвольными буквенными коэффициентами при n5 нельзя решить в радикалах, как установлено теоремой Руффини-Абеля.

Вместе с тем существуют отдельные классы уравнений высших степеней, которые можно решить в радикалах. Общее исследование проблем разрешимости алгебраических уравнений в радикалах является предметом важной области общей алгебры - так называемой теории Галуа (Э. Галуа ,(1811-1832)- выдающийся французский математик). Изложение этой теории выходит за пределы нашего курса. Однако один из вопросов теории разрешимости уравнений в радикалах мы в элементарной форме рассмотрим, т.к. он имеет особенное значение для курса школьной математики. Речь пойдет о разрешимости алгебраических уравнений в квадратных радикалах. Именно к этому вопросу сводится проблема разрешимости геометрических задач на построение циркулем и линейкой, в том числе широко известных классических задач: удвоения куба, трисекции угла, квадратуры круга и др.