Глоссарий

Абелева группа. Группа, в которой групповая операция коммутативна, называется абелевой (коммутативной) группой.

Аддитивная группа классов вычетов. Множество классов вычетов по модулю m образует группу относительно операции сложения классов. Эта группа и называется аддитивной группой вычетов по заданному модулю.

Алгебра. Алгеброй называется непустое множество с заданными на нем п-арными операциями.

Антирефлексивое бинарное отношение. Бинарное отношение R на множестве А называется антирефлексивным, если ни один элемент х из А не находится в отношении R с самим собой.

Бинарное отношение R на множестве А называется антисимметричным на А, если из условий, что х находится в отношении R с у и у находится в отношении R с х, следует, что х =у.

Антисимметричное бинарное отношение. Бинарное отношение R на множестве А называется антисимметричным на А, если из условий, что х находится в отношении R с у и у находится в отношении R с х, следует, что х =у.

Арифметическое векторное пространство. Арифметическим п-мерным векторным пространством над полем Р называется множество упорядоченных п-ок элементов из поля Р с заданными на нем бинарной операцией сложения и унарной операцией умножения на скаляр (элемент поля Р).

Базис векторного пространства. Базисом векторного пространства называется непустая линейно независимая система векторов, порождающая это пространство.

Бинарная операция. Бинарной операцией на множестве А называется отображение декартова квадрата множества А в множество А.

Бинарное отношение. Бинарным отношением называется любое множество упорядоченных пар.

Бинарное отношение на множестве. Если то говорят, что R есть бинарное отношение на множестве А.

Взаимно простые числа. Целые числа a и b, НОД которых равен 1, называется взаимно простыми.

Векторное пространство. Множество V с заданными на нем бинарной операцией сложения и операцией умножения поля скаляров Р на элементы множестваV называется векторным пространством над полем Р, если выполняются следующие условия (аксиомы): 1) множество V является аддитивной абелевой группой; 2) (ав)с=а(вс); 3) а(в+с)=ав+ас; 4) (а+в)с=ас+вс; 5) 1а=а.

Вполне упорядоченное множество. Линейно упорядоченное множество (А,R) называется вполне упорядоченным множеством, если каждое непустое подмножество множества А имеет наименьший элемент.

Выполнимый предикат. Предикат А( называется выполнимым, если существует хотя бы один набор допустимых значений входящих в него переменных, при которых его истинностным значением является «истина».

Высказывание. Понятие высказывания первично. Под высказыванием в логике понимают повествовательное предложение, о котором можно говорить, что оно истинно или ложно.

Геометрическое представление комплексных чисел. Каждое комплексное число а+вi представимо в виде точки М(а,в) координатной плоскости.

Главные операции алгебры. Множество операций, определенных на алгебре, называется множеством главных операций алгебры, а его элементы – главными операциями алгебры.

Гомоморфизм алгебраических систем. Гомоморфизмом алгебраической системы в однотипную ей систему называется отображение множества первой системы во множество второй системы, сохраняющее все главные операции и отношения первой системы.

Гомоморфизм алгебр. Гомоморфизмом алгебры А в однотипную ей алгебру В называется такое отображение множества алгебры А в множество алгебры В, которое сохраняет все главные операции алгебры А.

Гомоморфизм векторных пространств. Пусть U и V – векторные пространства над полем Р. Отображение f U в V называется линейным отображением или гомоморфизмом, если оно удовлетворяет условиям линейности, т. е. для любых а и в из V и любого с из Р выполняются условия f(a+b)=f(a)+f(b), f(ca)=cf(a).

Гомоморфизм групп. Гомоморфизмом группы G в группу K называется отображение множества G в множество K, сохраняющее главные операции группы G.

Гомоморфизм колец. . Гомоморфизмом кольца G в кольцо K называется отображение множества G в множество K, сохраняющее главные операции кольца G.

Граф. Графом называется фигура на плоскости, состоящая из конечного числа точек – вершин графа – и линий, соединяющих некоторые из вершин/

Группа. Непустое множество G с бинарной операцией называется группой, если операция ассоциативна, относительно ее в множестве G существует нейтральный элемент и каждый элемент множества G имеет в этом множестве симметрический элемент относительно операции .

Делитель нуля. Элементы а и в кольца К называются делителями нуля, если а не равен нулю и в не равен нулю и ав=0 или ва=0.

Делитель элемента. Пусть К – коммутативное кольцо и а, в – его элементы. Элемент в называется делителем а, а элемент а – кратным в, если в К существует такой элемент с, что а = вс. Диаграмма Эйлера-Венна. Множество можно изображать кругом (или другой связной фигурой) на плоскости и оно мыслится как множество точек круга. Такое изображение множества называется диаграммой Эйлера-Венна.

Дефект оператора. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом линейного оператора.

Диагональная матрица. Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали.

Дизъюнкция. Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание, истинное в том и только том случае, когда хотя бы одно из высказываний А и В истинно.

Дистрибутивность. Бинарная операция * называется дистрибутивной относительно бинарной операции “ на множестве А, если для любых элементов а, в, с из А выполняются равенства (а’в)*с=(а*с)’(в*с) и с*(а’в)=(с*а)’(с*в).

Доказательство косвенное (от противного). Вместо того, чтобы доказать, что из А следует В, равносильно доказать, что из не В следует не А. Такой способ доказательства называется доказательством методом от противного или косвенным доказательством.

Дополнение множества. Дополнением множества А называется разность между универсальным множеством и множеством А

Дополнение ортогональное. Пусть V векторное пространство со скалярным умножением. И пусть М подпространство V. Множество всех векторов из V, каждый из которых ортогонален каждому вектору из множества М, называется подпространством, ортогональным к подпространству М.

Евклидово пространство. Векторное пространство над полем Р с положительно определенным скалярным умножением называется евклидовым векторным пространством.

Единица группы. Нейтральный элемент относительно умножения в мультипликативной группе называется единичным элементом группы или единицей группы.

Единица кольца. Элемент кольца, нейтральный относительно умножения, называется единичным элементом кольца или единицей кольца.

Зависимость линейная. Система векторов а, в, …,с называется линейно зависимой, если существуют скаляры (элементы поля) m,n,..,k не все равные нулю, такие что ma+nb+…+kc=0.

Замкнутое подмножество. Подмножество В множества А называется замкнутым относительно операции *, если для любых а и в из В элемент а*в принадлежит В.

Знак включения. Если А есть подмножество множества В, то говорят также, что А содержится в В, и пишут . Символ называется знаком включения.

Знак подстановки. Если в подстановке число инверсий четное, то ее знак считается равным единице; если в подстановке число инверсий нечетное, то ее знак считается равным -1.

Знак принадлежности. Если элемент а принадлежит множеству А, то это пишут . Знак называется знаком принадлежности, он ставится всегда между элементом и множеством.

Изоморфизм алгебры. Гомоморфизм алгебры А на алгебру В называется изоморфизмом, если он есть инъективное отображение множества А на множество В.

Изоморфизм алгебраической системы. Гомоморфизм алгебраической системы А на алгебраическую систему В называется изоморфизмом, если он есть инъективное отображение множества А на множество В.

Изоморфизм векторных пространств. Отображение векторного пространства U на векторное пространство V называется изоморфизмом, если оно инъективно и удовлетворяет условиям линейности: f(а+в)=f(а)+f(в), f(са)=сf(а)

Импликация. Импликацией высказываний А и В называется высказывание, ложное в том и только том случае, когда А истинно, а В ложно. Высказывание А называется посылкой, а В – заключением импликации.

Инверсия бинарного отношения. Инверсией бинарного отношения R называется множество всех упорядоченных пар (х,у) таких, что (у,х) R.

Инъективная функция. Функция f(x) называется инъективной, если для любых х и у из области определения из условия, что f (х) = f (у) следует, что х=у.

Каноническое разложение на простые множители. Представление целого числа (отличного от нуля) в виде а=ς – различные положительные простые числа, ς = ±1 и для i = 1, 2, … s.

Квантор существования. Для него применяется символ , приписываемый слева к предикату. Пусть А(х) – одноместный предикат переменной х. Под выражением х А(х) понимается высказывание, истинное, если А(х) принимает значение «истина» хотя бы для одного из допустимых значений переменной х.

Класс вычетов. Классы эквивалентности отношения сравнения по идеалу I в кольце К называются классами вычетов по идеалу I или смежными классами кольца К по идеалу I.

Класс эквивалентности. Пусть К – отношение эквивалентности на множестве А и а А. Классом эквивалентности, порожденным элементом а, называется множество всех таких элементов x из А, что x находится в отношении К с а.

Кольцо. Кольцом называется непустое множество К, на котором заданы бинарные операции сложения и умножения, которые удовлетворяют условиям: 1) множество К есть аддитивная абелева группа; 2) операция умножения ассоциативна на множестве К; 3) умножение дистрибутивно относительно сложения.

Кольцо классов вычетов. Множество классов вычетов по заданному модулю с введенными на нем операциями сложения и умножения: a mod m+b mod m = (a+b) mod m и (a mod m)·(b mod m) = ab mod m называется кольцом классов вы четов по заданному модулю m.

Квантор общности. Пусть А(х) – одноместный предикат. Под выражением х А(х) понимается высказывание, истинное, если А(х) принимает значение «истина» для всех допустимых значений переменной х.

Коммутативность. Бинарная операция * называется коммутативной на множестве А, если для любых элементов а и в из множества А выполняется равенство а*в=в*а

Коммутативная группа. То же, что и абелева группа.

Коммутативное кольцо. Кольцо К называется коммутативным, если ав=ва для любых элементов а и в кольца К.

Комплексные числа. Числа вида а+вi, где а и в – любые действительные числа, а i – число, квадрат которого равен -1, называются комплексными числами.

Композиция отношений. Пусть R и S – бинарные отношения. Множество всех пар (х,у) таких, что для некоторого z (х,z) S и (z,у) R, называется композицией отношений S и R и обозначается R S.

Композиция функций понимается как композиция отношений.

Конъюнкция. Конъюнкцией высказываний А и В называется новое высказывание, истинное только тогда, когда оба высказывания истинны

Кортеж. Обобщением понятия упорядоченной пары является понятие кортежа (упорядоченного набора) n элементов

Линейная оболочка. Линейной оболочкой множества М векторов векторного пространства над полем Р называется совокупность всех линейных комбинаций векторов из М с коэффициентами из поля Р.

Линейно упорядоченное множество. Отношение порядка на множестве А называется отношением линейного порядка или линейным порядком, если оно связанно на А.Множество А при этом называется линейно упорядоченным

Линейное многообразие. Пусть U подпространство векторного пространства М. Любой класс эквивалентности отношения сравнения по U называется линейным многообразием пространства V с направлением U.

Линейное отображение векторного пространства. Пусть U и V векторные пространства над полем Р. Отображение f множества U в множество V называется линейным отображением или гомоморфизмом, если оно удовлетворяет условиям линейности, т. е. для любых а и в из U и любого с из Р выполняются условия f(а+в)=f(а)+f(в) и f(са)=сf(а).

Линейный оператор. Линейное отображение векторного пространства V в себя называется линейным оператором пространства V.

Линейный оператор с простым спектром. Линейный оператор п-мерного векторного пространства, имеющий п различных собственных значений, называется оператором с простым спектром; набор всех собственных значений оператора называется его спектром.

Логическое следствие. Пусть А и В – формулы логики высказываний. Формула В называется логическим следствием формул А, если при любом выборе истинностных значений атомов, входящих в формулу А, формула В принимает значение «истина» всякий pаз ,когда формула А принимает значение «истина».

Матрица. Пусть m и n – целые положительные числа. Таблицу , состоящую из m строк и n столбцов с элементами поля Р, называют матрицей размерности m на n Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Матрица линейного оператора. Матрицей линейного оператора векторного пространства относительно заданного базиса этого пространства называется матрица, в столбцы которой записаны координаты образов базисных векторов, выраженные в этом базисе.

Матрица обратимая. Квадратная матрица А называется обратимой, если существует матрица В, удовлетворяющая условию АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица.

Матрица транспонированная. Матрица, получающаяся из данной матрицы А в результате замены ее строк соответствующими столбцами, называется транспонированной к А.

Модуль комплексного числа. Модулем комплексного числа a+bi называется арифметический квадратный корень из числа .

Множество. Под множеством понимают совокупность объектов (предметов или понятий), которая рассматривается как одно целое.

Множество, замкнутое относительно операции. Множество А замкнуто относительно операции , если для любых а и в из А а в принадлежит множеству А.

Наибольший общий делитель. Наибольший из общих делителей чисел a и b называется наибольшим общим делителем чисел a и b и обозначается (a, b) или НОД(а, в).

Наименьшее общее кратное. Наименьшее из положительных общих кратных чисел , ,…, называется наименьшим общим кратным этих чисел обозначается оно , ,…, или сокращенно НОК(а, в)

Наибольший (наименьший) элемент. Пусть (А,R) – упорядоченное множество. Элемент а из А называется наибольшим (наименьшим) в А, если для любого элемента х из А х находится в отношении R с а (а находится в отношении R с х).

Нестрогий порядок. Отношение порядка R на множестве А называется нестрогим, если оно рефлексивно на А.

n-местное отношение (n>1) n – местным отношением называется любое множество кортежей длины n (т.е. любое множество упорядоченных наборов n объектов).

Нейтральный элемент. Пусть * - бинарная операция на множестве А.Элемент e из множества А называется нейтральным относительно операции *, если для любого элемента a из множества А верны равенства а*е=а=е*а.

Норма вектора. Номой вектора из евклидова пространства называется арифметический квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора.

Нулевое кольцо. Кольцо называется нулевым, если оно состоит только из нулевого элемента.

Область значений бинарного отношения. Множество всех вторых элементов пар из R называется областью значений R, где R – бинарное отношение.

Область определения бинарного отношения. Множество всех первых элементов всех пар из R называется областью определения отношения R.

Область целостности. Кольцо К называется областью целостности, если оно коммутативное, единица кольца не равна нулю кольца и для а, в К из ав = 0 следует а = 0 или в = 0.

Обратимый элемент. Элемент множества А, на котором задана бинарная операция умножения, называется обратимым, если в множестве А существует такой элемент в, что выполняется условие ав=ва=е. Здесь е – нейтральный элемент относительно умножения в множестве А.Элемент в называется при этом обратным к элементу а.

Однотипные алгебры. Алгебры А и В называются однотипными, если существует инъективное отображение множества А в множество В, при котором любая операция из А и соответствующая ей операция из В имеют один и тот же ранг.

Общий делитель. Целое число c называется общим делителем целых чисел a и b, если каждое из этих чисел делится на c. Если каждое из целых чисел , ,…, делится на целое число d, то число d называется общим делителем чисел , ,…, .

Общее кратное. Целое число, которое делится на каждое из чисел , ,…, называется общим кратным этих чисел. Область значений бинарного отношения. Множество всех вторых элементов пар из R называется областью значений R, где R – бинарное отношение..

Обратная функция (отношение). Функция f называется обратной к функции g, где f - отображение множества А на множество В, если g – отображение множества В на множество А и композиция функций f и g равна тождественному отображению множества А на себя, а композиция g и f равна тождественному отображению множества В на себя.

Объединение множеств. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Ограничение отношения. Отношение R называется ограничением отношения S, а S – расширением R, если R S.

Определитель матрицы. Определителем квадратной матрицы п-порядка называется сумма п! слагаемых, каждое слагаемое содержит п множителей, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца матрицы.

Ортонормированная система векторов. Система векторов евклидова пространства называется ортонормированной, если она ортогональна и каждый ее вектор нормирован. Ортонормированная система векторов, являющаяся базисом пространства, называется ортонормированным базисом пространства.

Ориентированный граф. Граф, на котором указаны стрелками направления всех его ребер, называется ориентированным.

Отношение между элементами двух множеств. Если К есть подмножество декартова произведения А х В множеств А и В, то говорят, что К есть отношение между элементами множеств А и В.

Отношение порядка. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка на А или порядком на А, если оно транзитивно и антисимметрично.

Отношение эквивалентности. Бинарное отношение на множестве А называется отношением эквивалентности на А, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно на А.

Отображение. Бинарное отношение f называется отображением или функцией, если для любых x, y, z из того, что пара (x,y) принадлежит f и пара (x,z) принадлежит f, следует, что y=z.

Отрицание высказывания. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А ложно.

Пересечение множеств. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Перестановка из n элементов. Пусть множество А содержит n элементов. Всевозможные упорядоченные множества, составленные из данных n элементов, называются перестановками из этих элементов.

Подалгебра. Алгебра В называется подалгеброй однотипной ей алгебры А, если множество В есть подмножество множества А и тождественное отображение множества В в А является мономорфизмом алгебры В в алгебру А.

Подгруппа. Подгруппой группы G называется любая подалгебра этой группы.

Подкольцо. Подкольцом кольца К называется любая подалгебра этого кольца.

Подмножество. Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

Подобные матрицы. Квадратные матрицы А и В п-го порядка с элементами из поля Р называются подобными над полем Р, если существует такая обратимая матрица Т п-го порядка, что А= .

Подполе. Подполем поля Р называется подкольцо поля Р, в котором всякий ненулевей элемент обратим.

Подпространство векторного пространства. Подпространством векторного пространства называется любая подалгебра этого пространства, рассматриваемого как алгебра.

Подсистема алгебраической системы. Система А называется подсистемой системы В, если множество А есть подмножество множества В и тождественное отображение множества А в множество В является мономорфизмом системы А в систему В.

Подстановка множества. Инъективное отображение непустого множества А на себя называется подстановкой множества А или преобразованием множества А.

Поле. Полем называется коммутативное кольцо, в котором нуль отличен от единицы и всякой ненулевой элемент является обратимым.

Полная линейная группа. Мультипликативная группа всех обратимых матриц порядка п над полем Р называется полной линейной группой степени п над полем Р.

Поле классов вычетов. Кольцо классов вычетов по простому модулю является полем и называется полем классов вычетов по данному простому модулю.

Полная система вычетов. Система вычетов, состоящая из m вычетов, взятых по одному из каждого класса, называется полной системой вычетов по модулю m.

Порядок класса вычетов. Все элементы (вычеты) класса вычетов по заданному модулю имеют один и тот же порядок в; число в называется порядком класса вычетов по модулю.

Приведенная система вычетов. Система вычетов, взятых по одному из каждого класса, взаимно простого с модулем m, называется приведенной системой вычетов по модулю m.

Простое число. Отличное от единицы натуральное число a называется простым, если оно не имеет делителей, отличных от единицы и а.

Полная система представителей классов эквивалентности – это множество представителей всех классов, по одному из каждого класса. Любой элемент класса эквивалентности называется представителем этого класса.

Предикат. Предложения с переменными, дающие высказывания в результате замены свободных переменных их допустимыми значениями, называются предикатами. По числу входящих переменных различают предикаты одноместные, двухместные и т.д.

Предикатные формулы (формулы логики предикатов) вводятся так:

а) всякая элементарная формула есть предикатная формула;

б) если А и В – предикатные формулы, то их отрицание, их конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция суть предикатные формулы;

с) выражение есть предикатная формула в том случае, если оно есть элементарная формула или построено из эквивалентных формул посредством правил а и в .

Предпорядок на множестве. Бинарное отношение R на множестве А называется предпорядком на А, если оно рефлексивно и транзитивно на А.

Простое число. Отличное от единицы натуральное число a называется простым, если оно не имеет делителей, отличных от единицы и а.

Противоположный элемент. Пусть на множестве А задана операция сложения. Элемент а множества А называется противоположным элементу в этого множества, если а+в=в+а=0.

Прямая сумма подпространств. Сумма А+В+С+…+К подпространств А, В, С, …,К векторного пространства V называется прямой суммой этих подпространств, если любой вектор v из А+В+С+…+К можно единственным образом представить в виде а+в+с+…+к, где а принадлежит А, в принадлежит В, с принадлежит С и т. д., наконец, к принадлежит К.

Прямое произведение множеств. Прямое произведение множеств – это декартово произведение множеств А и В. Оно состоит из всех упорядоченных пар первые компоненты которых принадлежат множеству А, а вторые – множеству В.

Пустое множество. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

Равносильные формулы. Формулы А и В называются равносильными (логически эквивалентными), если при любом выборе истинностных значений атомов, входящих в А и В, формулы А и В принимают одинаковые истинностные значения. Предикаты А(х , …, х ) и В(у , …, у ) называются равносильными (логически эквивалентными), если предикат А(х , …, х ) --- В(у , …, у ) является тождественно истинным.

Равные бинарные отношения. Бинарные отношения R и S называются равными, если для любых х и у (х,у) К тогда и только тогда, когда (х,у) S, т.е. R и S равны как множества

Равные множества. Два множества А и В называются равными (пишут А = В), если А и В содержат одни и те же элементы.

Равные упорядоченные пары. Упорядоченные пары (а,в) и (c,d) называются равными пишут (a,в) = (c,d) в том и только в том случае, когда а=с и в=d.

Разбиение множества. Разбиением множества А называется такое семейство его непустых непересекающихся попарно подмножеств, что каждый элемент множества А входит в точности в одно подмножество.

Разложение на простые множители. Представление всякого целого числа с, отличного от нуля и ±1,в виде произведения простых чисел, взятых со знаком плюс или минус, называется разложением числа с на простые множители.

Размерность векторного пространства. Размерностью ненулевого конечномерного векторного пространства называется число векторов какого-нибудь базиса этого пространства. Размерность нулевого векторного пространства считается равной нулю.

Размещение из n элементов по m элементов. Пусть множество содержит n элементов. Размещениями из n элементов по m называются всевозможные упорядоченные подмножества, содержащие m элементов из данных n.

Разность двух множеств. Разностью множеств А и В называется множество, элементами которого являются элементы множества А, не принадлежащие множеству В, и только они.

Ранг линейного оператора. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора.

Ранг матрицы. Строчечным рангом матрицы называется ранг системы ее строк, рассматриваемых как п-мерные векторы. Столбцовым рангом матрицы называется ранг системы ее столбцов, рассматриваемых как m-мерные векторы.

Ранг системы векторов. Рангом конечной системы векторов называется число векторов, входящих в какой-нибудь базис системы. Ранг системы нулевых векторов и ранг пустой системы векторов считаются равными нулю.

Ребро графа. Линия, соединяющая какие-либо две вершины графа, называется ребром графа.

Решение системы линейных уравнений. Пусть дана система линейных уравнений с п переменными над полем Р. П-мерный вектор с координатами из поля Р называется решением системы, если при подстановке в каждое уравнение системы вместо переменных соответствующих координат этого вектора получаются верные равенства.

Рефлексивное бинарное отношение. Бинарное отношение R на множестве А называется рефлексивным, если для каждого х из А х находится в отношении R с самим собой.

Свободная переменная. Буква, которая на протяжении некоторого текста обозначает один и тот же объект, называется свободной переменной.

Связная переменная. Переменная x, от которой не зависят предикаты вида xA(x,y,z) или xA(x,y,z), называется связной переменной (в отличие от переменных y, z, которые являются свободными).

Связное бинарное отношение. Бинарное отношение R на множестве А называется связным, если для любых элементов х,у множества А из х = у следует, что х находится в отношении R с у или у находится в отношении R с х.

Симметричное бинарное отношение. Бинарное отношение R на множестве А называется симметричным, если для любых х т у из А из того, что х находится в отношении R с у, следует, что и у находится в отношении R с х.

Следствие системы линейных уравнений. Линейное уравнение называется следствием системы линейных уравнений, если каждое решение системы является решением этого уравнения.

Собственное значение линейного оператора. Скаляр m из поля Р называется собственным значением линейного оператора f, если существует такой ненулевой вектор а, что f(а)=mа.

Собственный вектор линейного оператора. Вектор а из векторного пространства V называется собственным вектором линейного оператора f, если вектор а не нулевой вектор и вектор f(а) равен произведению скаляра и вектора а.

Сочетание из n элементов по m элементов. Сочетаниями из n элементов по m называются всевозможные подмножества, содержащие m элементов из данных n.

Сравнение по модулю. Два целых числа а и в называются сравнимыми по модулю m, если m делит а – в. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m (записывается: (mod m)), если при делении их на натуральное число m>1 получается один и тот же остаток, т. е. если разность этих чисел делится на m.

Строгий порядок. Бинарное отношение R на множестве А называется строгим порядком на А, если оно транзитивно и антирефлексивно на А.

Сумма подпространств. Пусть А, В, …,С – подпространства векторного пространства V. Множество {а+в+…+с/a A, в В,…,с С} называется суммой подпространств А, В, …,С.

Тавтология. Формула логики высказываний, которая принимает значение «истина» при любом распределении значений входящих в эту формулу элементарных высказываний, называется тождественно истинной формулой или тавтологией.

Тождественно ложная формула. Формула логики высказываний, которая принимает значение «ложь» при любом распределении значений входящих в эту формулу элементарных высказываний, называется тождественно ложной формулой или противоречием.

Тождественное отображение. Отображение i множества А на себя такое, что i(х) = х для каждого х из А, называется тождественным или единичным отображением множества А на себя.

Транзитивное отношение. Бинарное отношение R на множестве А называется транзитивным на А, если для любых х,у z из А из того, что х находится в отношении R с у, а у находится в отношении R с z, следует, что х находится в отношении R с z.

Универсальное множество. Универсальным называется множество U, в котором содержатся все рассматриваемые в данной теории множества.

Упорядоченное множество. Упорядоченным множеством называется пара (А,R), где А – непустое множество и R - отношение на А. Если порядок R на А линейный, то пара (А,R) называется линейно упорядоченным множеством. Если порядок R на А частичный, то пара (А,R) называется частично упорядоченным множеством.

Упорядоченная пара. Упорядоченная пара элементов а и в – первичное понятие. Обозначается (а, в). Элемент а называется первым элементом пары, а в – вторым элементом пары.

Фактор-множество. Пусть А – непустое множество. Фактор-множеством множества А по отношению эквивалентности, называется множество всех классов эквивалентности.

Формула логики высказываний. Формулами логики высказываний считаются: 1) элементарные формулы (атомы); 2) если А и В – формулы, то их отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция тоже являются формулами логики высказываний; 3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).

Фундаментальная система решений. Фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений называется непустая линейно независимая система ее решений, линейная оболочка которой совпадает с множеством всех решений системы.

Функция. Функция – это отображение.

Частичный порядок. Отношение порядка, не являющегося линейным, называют отношением частичного порядка или частичным порядком.

Эквиваленция. Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание, истинное в том и только в том случае, когда А и В имеют одно и то же истинностное значение.

Элемент множества. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами.

Ядро гомоморфизма. Пусть f – гомоморфизм группы G в группу U. Ядром гомоморфизма а называется множество тех элементов группы G, образами которых при гомоморфном отображении f является единичный элемент группы U.

Ядро линейного оператора. Пусть f – линейный оператор векторного пространства. Множество векторов пространства, образами которых при отображении f является нулевой вектор пространства, называется ядром линейного оператора.