20. Об’єми і площі поверхонь геометричних тіл. Методика вивчення.

Перше уявлення про об'єми тіл і їх обчислення учні дістають у курсі математики 5 класу у зв'язку з вивченням прямокутного паралелепіпеда. В 11 класі вони повертаються до вивчення об'ємів на дедуктивній основі. В умовах роботи за підручником О. В. Погорєлова за аналогією з введенням поняття площі фігури в курсі планіметрії запроваджується поняття об'єму спочатку простих тіл. Так само формулюється означення об'єму простого тіла як додатної величини, числове значення якої має три властивості. Далі доводиться формула об'єму прямокутного пара­лелепіпеда. В останньому виданні підручника подано інший, коротший спосіб доведення цієї формули, ніж у попередніх, але теж з використанням ідеї граничного переходу.

Практика свідчить про те, що доведення формул об'єму похилого паралелепіпеда методом перетворення його додаткови­ми побудовами в прямокутний, як і доведення формули об'єму призми, не викликають в учнів особливих труднощів, якщо до того ж використати заздалегідь виготовлені моделі, що ілюстру­ють етапи перетворення. Важче сприймається учнями доведення формули об'єму трикутної піраміди.

У навчально-методичній літературі відомі кілька способів доведення цієї формули:

1. спосіб, що спирається на явне використання границі (спосіб границь);

2. спосіб, що спирається на використання принципу Кавальєрі;

3. спосіб доведення за допомогою формули Симпсона;

4. спосіб доведення за допомогою визначеного інтеграла;

спосіб, який спирається на попереднє доведене твердження про рівновеликість двох трикутних пірамід з рівними площами основ і рівними висотами.

У класах з поглибленим вивченням математики можливий ін­ший методичний варіант використання визначеного інтеграла для обчислення об'ємів тіл, що вивчаються в шкільному курсі. Спочатку вводяться поняття довільного циліндра і ко­нуса. Призма і піраміда в такому разі є окремими випадками ци­ліндра і конуса. Попередньо вводиться теорема про об'єм прямо­го циліндра. Спочатку вона обґрунтовується наочними міркуван­нями, а відтак доводиться строго.

Далі формулюється теорема про вираження об'єму простої фі­гури Т інтегралом, тобто

, де S(x)

Після цього доводять теореми про об'єм циліндра (зокрема, призми), об'єм конуса (зокрема, піраміди), кулі, тіл обертання.

Щодо площ поверхонь геометричних тіл, то обчислення площ многогранників не становить труднощів, оскільки задача зводить­ся до обчислення площ граней (многокутників). Площі поверхні циліндра і конуса теж неважко обчислити за допомогою їх розгорток. Обчислення площі сфери дещо складніше. Проте і для всіх тіл обертання важливо вміти знаходити відповідні формули площ поверхонь, використовуючи підхід, аналогічний до дове­дення формули площі круга. Тільки для тіл обертання доводиться вписувати відповідно правильну n-кутну призму (для циліндра), правильну n-кутну піраміду (для конуса) і описувати опуклий многогранник (для сфери). В цьому разі теж використовується ідея граничного переходу.

У шкільних підручниках попередніх років здійснено інший теоретичний і методичний підходи до виведення формул площ поверхонь, тіл обертання, ідею якого запропонував А. Лебег: тіло, наприклад кулю, покривали шаром фар­би, обчислювали об'єм цього шару, і за умови, коли товщина шару прямувала до нуля, об'єм його прямував до числа, значення якого і приймали за числове значення площі поверхні.

21. Діяльнісний підхід до навчання математиці. Зміст і роль загальних розумових дій і прийомів розумової діяльності (аналіз, синтез, порівняння, абстрагування, конкретизація, узагальнення, аналогія,індукція і дедукція).

Діяльнісний підхід до організації навчання математики вимагає, щоб учень під час вивчення навчального матеріалу здійснив повний цикл пізнавальних дій, а саме: сприйняв на­вчальний матеріал, усвідомив його, запам'ятав, потренувався в застосуванні знань на практиці, а відтак здійснив наступну ді­яльність - повторення, поглиблення і міцніше засвоєння цього матеріалу. Розробляючи методику вивчення кожної теми програми, слід передбачити максимально сприятливі умови для організації пізнавальних дій, які забезпечують оволодіння учнями програмовим матеріалом.

Під прийомом розумової д-сті розум. с-му процесів або операцій аналізу, синтезу, абстрагування, узагальнення та ін.

Аналіз – логічний прийом, суть якого полягає в тому, що виучуваний об’єкт мисленно чи практично розчленовується на складові елементи, кожен з яких досліджується окремо як частина цілого. Об’єктом аналізу є формулюв. означень, аксіом, дов. теорем. розв. будь-якої задачі починається з аналізу.

Синтез – логічний прийом, за допомогою якого окремі елементи об’єдн. в ціле. Аналіз – спосіб пошуку розв’язання задачі, дов. теореми, а синтез, опираючись на дані одержані в ході аналізу, дає розв’язання задачі. Наприклад, розв’язати показникові р-ня . Щоб розв.р-ня учні повинні виділити (аналіз) праву частину і переосмислити звич.дріб як степінь число 3. записавши р-ня у вигляді , зіставити (синтез) ліву і праву частини і прирівняти показники.

Узагальнення – перехід від чогось одиничного до загального, від менш загального до більш загального. Напр., узагальнення поняття числа, теор. косинусів – узаг. від теор. Піфагора. Напр., розгул. перехід: куля-конус-циліндр – тіла обертання.

Обмеження (протил. до узагальн.) або спеціалізація. Напр., після узаг. вивч. чотирик. перех. до вивч. паралел., прямок., квадрата. Тобто кожен раз здійсн. обмеження поняття. Об’єм поняття звужується, а зміст збагачується.

Абстрагування – це розумова дія, процес мисленого ізолювання, виділення окремих суттєвих вл. з багатьох вл. розглядуваних об’єктів чи явищ. Напр.., такі геом..фігури як точка, пряма виявились продуктом абстрагування від вл.реально існуючих об’єктів, від яких вони походять. Напр., розгул. перехід: м’яч-дробика-бульбашка – куля.

Конкретизація – обернена операція до абстрагування. Конкретними назив. обєкти, які не є абстрактними, але нерідко і менш загальними. Куля – конкретний приклад тіл обертання, чотирикутник – многок., хоча і куля і чотири. пон. абстрактні. При дов. теорем ми конкретизуємо.

Індукція – форма мислення, зо допомогою якої думка наводиться на будь-які заг. твердження, що стосуються одиничних предметів певної множини. Неповна індукція - міркування від окремого до загального. Напр.., побудувавши за точками графіки кількох лінійних ф-цій, учні перекон., що графіком їх є пряма. Повна індукція – умовивід, у правильності якого переконуються, розглядаючи всі окремі випадки, що утв. скінченну множину. Напр., доводячи теорему про вимірювання вписаного в коло кута, розглядають всі три окремі випадки. Математична індукція – методів доведення мат. тверджень, які охоплюють неск. к-сть випадків., ґрунтується на принципі індукції.

Дедукція – форма мислення, за допомогою якої від відомого заг. твердження перех. до менш заг. або одиничних.

Аналогія (схожість, подібність) – прийом розумової д-сті, спрямований на одержання нових знань про вл., ознаки, відношення предметів і явищ, що вивчаються, на підставі знань про їхню часткову схожість (числова р-сть і числова нерівність).

Порівняння – це розумова дія, спрямована на виділення спільного і відмінного в предметах і явищах.виділяють дві форми пор-ня: зіставлення і протиставлення. Зіставлення – це розумова дія, спрямована на виділення суттєвих ознак, спільних для деяких об’єктів. Протиставлення спрямоване на виділення відмінного, несуттєвого.