2. Рівняння і нерівності в основній школі і методика їх вивчення.

Рівняння – це рівність, яка містить невідомі числа, позначені буквами.

Основний спосіб розв’язування ґрунтується на використанні залежності між компонентами і результатами арифметичних дій, в 6 класі рівняння розв’язуються перенесенням членів з однієї частини в другу.

В 7 класі вводиться означ. лінійного рівняння з одним невідомим . Якщо , то рівняння наз. рівнянням першого степеня з 1-ю змінною. Кожне рівняння 1-го степеня з 1-ю змінною має один корінь. Лін. рівняння може не мати коренів або мати 1 корінь чи безліч. (0х=5 не має жодного розв’язку, бо не існує числа, яке б при множені на 0 у добутку дало 5. Рівняння 0х=0 має безліч коренів, його задов. довільне значення х).

Учні розв’язують текстові задачі за допомогою лін. рівнянь. Далі такі рівняння розв’язуються у зв’язку з вивченням тотожних перетворень цілих виразів і їх застосуванням.

При множенні одночлена на многочлен і розкладанні многочленів на множники з’являються перші неповні квадратні рівняння. Учні розв’язують рівняння, до складу яких входять дроби, знаменники яких числа. На завершення 7 класу вводиться поняття про лін. рівняння з 2 невідомими. Рівняння виду , a, b, c – дані числа, наз. лін. рівнянням з двома змінним х та у. Якщо його наз. рівнянням 1-го степеня з двома змінними. Кожна пара чисел, яка задов. це рівняння наз. розв’язком рівняння. Один розв’язок складається з двох чисел.

Вивчення квадратних рівнянь , де х – змінна, a, b, c - дані числа, причому , передбачене у 8 класі, якщо хоч один з коефіцієнтів b або c дорівнює 0, то квадратне рівняння наз. неповним. Їх три види: , , . Після цього розв’язують дробові раціональні рівняння, які зводяться до квадратних.

У 9 класі вивчаються біквадратні рівняння та системи рівнянь 2 степеня. Вивчення кожного нового виду рівнянь і їх систем супроводиться розв’язуванням текстових задач на складання рівнянь.

Основні властивості рівнянь дають у 7 класі:

1. У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки;

2. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини в іншу, змінивши знак на протилежний;

3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те ж число, відмінне від 0.

В старших класах вивчають тригонометричні, логарифмічні, степеневі і показникові рівняння.

Систематичне вивчення числових нерівностей з однією змінною та їх систем передбачено у 8 класі, хоча з найпростішими числовими нерівностями учні мали справу в попередніх класах, порівнюючи числа і числові вирази.

Два вирази сполучені знаком нерівності , утворюють нерівність. Залежно від того, містять нерівності змінні чи ні, їх називають нерівністю зі змінною або числовими нерівностями. Вони бувають правильні і неправильні.

Властивості числових нерівностей:

1. Якщо a<b і b<c, то a<c.

2. Якщо до обох частин правильної нерівності додати одне й те саме число, то дістанемо правильну нерівність.

3. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне й те саме додатне число (від’ємне число і змінити знак нерівності на протилежний), то дістанемо правильну нерівність.

4. Нерівності з однаковими знаками можна почленно додавати. Наприклад, якщо a<b, c<d, то a+c<b+d.

5. Нерівності з однаковими знаками можна почленно перемножити, якщо їх ліві і праві частини – додатні числа.

Розв’язком нерівності з однією змінною наз. значення цієї змінної, яке задовольняє дану нерівність. Розв’язують нерівність, замінюючи її іншими нерівностями, простішими і рівносильними їй. Дві нерівності наз. рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі розв’язки. Наприклад, нерівність рівносильна кожній з нерівностей

Нерівності із змінними мають властивості:

1. Якщо з однієї частини нерівності перенесемо в іншу доданок з протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.

2. Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на одне й те саме додатне число, то дістанемо нерівність рівносильну даній.

3. Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на одне й те саме від’ємне число, змінивши знак нерівності на протилежний, то дістанемо нерівність рівносильну даній.

Щоб визначити спільні розв’язки кількох нерівностей, потрібно знайти такі значення х, які задовольняють як першу так і другу нерівність. Розв’язком системи нерівностей з однією змінною наз. значення змінної, яке задовольняє кожну з нерівностей даної системи. Розв’язати систему нерівностей – означає знайти всі її розв’язки або показати, що їх немає.