12) Функции нескольких переменных. Частные производные.

Пример функции нескольких переменных.

1. Пусть V-выручка от продажи ТВ. х- объем продаж, у – цена единичного товара. Отсюда следует, что V= xy

2. Пусть S- площадь ∆АВС. х- длина основания АС, у – высота ВМ. Тогда S=

3. Пусть х₁- объем продаж товара 1-го типа. х₂- объем продаж товара 2-го типа. у₁ – единица товара 1-го типа, у₂- единица товара 2-го типа. V-общая выручка. Тогда V= х₁ у₁ + х₂ у₂

М ы будем рассматривать только функции от 2х переменных.

х и у – переменная. Пара чисел (х;у) задает точку М на плоскости. Поэтому можно писать z= f(M). График функции z=f(x;y) – поверхность в пространстве.

Опр.: Число а называется пределом функции z= f(M) в точке M₀= (x₀;y₀)

если для любой последовательности точек M₁, M₂…M_z, сходящиеся к точке M₀, соответствующая последовательность значений функции: f(M₁), f(M₂)… f(M_z) сходится к точке а.

Запись: = a

Частные производные.

Пусть z = f(x;y) – функция от двух переменных. Её можно дифференцировать по каждой из них.

Частная производная по х:

Частная производная по у:

При дифференцировании по х можно рассматривать у как постоянную величину. А при дифференцировании по у, можно считать х константой.

Пример: f(x;y) = x^y ; f’(x) = yx^y-1 ; f’(y) = x^y lnx

Дифференциал: d= f’(x) (x,y) dx + f’(y) (x,y) dy

Функция f(x;y) = z называется дифференцируемой в точке M₀= (x₀; y₀) если в ней существуют обе производные.

и

Пример: f(x;y) = x² – 3xy +y+1 = z = 2x-3y; = -3x+1; dz= dy= (2x-3y)dx + (1-3x)dx