Функции и способы их задания. Элементарные функции

Пусть даны 2 множества Х и У. Если к каждому элементу множества Х сопоставлен элемент множества У, то говорят, что задана функция из множества Х в множество У (задано отображение).

f: Х У (функция f отображает множество Х в множество У)

Пусть задана функция f, отображающая множество Х в множество У. Тогда множество Х называется областью определения функции. Множество всех элементов У из множества У, в которые отображаются элементы множества Х называются областью значений функции f.

Способы задания функции:

1-Аналитический – с помощью одной или нескольких формул

Пример: f(x)= x² + 3x - 4

2-Табличный – применяется, если область определения функции конечное множество

Пример: Х-множество студентов 1 курса, У- множество нат. чисел, f(x) – число баллов

3- Графический – задается с помощью графика (например метеорологические данные)

Простейшими элементарными функциями обычно называют линейную (y=kx+b), квадратичную (y=ax²+bx+c), степенную (y=xⁿ, где n целое число, не равно 1), показательную (y=a^x,где a больше 0 и не равно 1), логарифмическую (y=log_a x, где a больше 0 и не равно 1), тригонометрические (y=sin x, y=cos x, y=tgx,y=ctgx),обратные тригонометрические (y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x).

К элементарным функциям относятся основные элементарные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и суперпозиций.

2. Содержание

   • Функции и способы их задания. Элементарные функции
   • Предел последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
   • Определение предела функции. Примеры.
   • Основные свойства пределов. Замечательные пределы.
   • Непрерывность функции. Точки разрыва 1 и 2 рода.
   • Свойства непрерывных функций
   • Производная функции. Геометрический и физический смысл производной.
   • Дифференциал функции. Основные правила дифференцирования.
   • 9) Основные правила дифференциального исчисления.
   • 10 ) Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена.
   • 11) Исследование функции с помощью дифференциального исчисления.
   • 12) Функции нескольких переменных. Частные производные.
   • 13) Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
   • 14) Неопределенный интеграл и его основные свойства.
   • 15) Замена переменных и интегрирование по частям для неопределенного интеграла.
   • 16) Интегрирование рациональных функций.
   • 17) (Подписать к графику!!) Интегральная сумма и определенный интеграл.
   • 18) Основные свойства определенных интегралов. Методы интегрирования.
   • 19) Геометрические приложения определенного интеграла.
   • 1) Вычисление площади плоских фигур
   • 2) Вычисление объема
   • 20) Приближенное вычисление определенного интеграла. Методы интегрирования.
   • 1) Формула прямоугольников
   • 2) Формула трапеции
   • 21) Дифференциальные уравнения. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
   • 22) Задача Коши и теорема Коши.
   • 23) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
   • 24) Решение дифференциальных уравнений методом подстановки (метод Бернулли)
   • Первый способ
   • Второй способ
   • 25) Решение дифференциальных уравнений методом вариации постоянной (метод Лангранжа) Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)